《普通物理学》课程教学资源（PPT课件）第十三章早期量子论和量子力学表础 13-7 波函数及其统计诠释、薛定谔方程

§13-7波函数及其统计诠释薛定谔方程 一、物质波函数及其统计诠释 用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。 机械波 y(x,t)=yo cos2n(vt-x/1) 或 (x)=⅓%ei2-为 利用关系 v=E h,A=hP 得到描写自由粒子的平面波波函数： 2(Et-px) w(x,t)=Woe h 让贰不贰返可退晚

上页 下页 返回 退出 得到描写自由粒子的平面波波函数： 利用关系 用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。 机械波 或 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 一、物质波函数及其统计诠释 0 y x t y t x ( , ) cos 2 ( ) =  −   2 ( ) 0 ( , ) x t y x t y − − =   i π e   = = E h h P , 2 ( ) 0 ( , ) e Et px h x t − −  = π i

物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明 光波振幅平方大 (波动观点) 光强度大 光子在该处出现 (微粒观点) 的概率大 波函数振幅的平方大（波动观点) 物质波的 强度大 单个粒子在该处出现（微粒观点） 的概率大 让美下觉返司速此

上页 下页 返回 退出 物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明 物质波的 强度大 光强度大 光波振幅平方大 （波动观点） 光子在该处出现 的概率大 （微粒观点） 波函数振幅的平方大 单个粒子在该处出现 的概率大 （波动观点） （微粒观点）

在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概 率正比于该时刻、该地点波函数的平方。 在空间一很小区域（以体积元dV=x dy da表征）出 现粒子的概率为 lwdv=wy"dv 称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单 位体积内粒子出现的概率。 波函数还须满足： 归一化条 件 及单值、连续、有限等标准化条件 上美子意蕴可退

上页 下页 返回 退出 在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概 率正比于该时刻、该地点波函数的平方。 在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征)出 现粒子的概率为 及单值、连续、有限等标准化条件 波函数还须满足： 归一化条 件 2   d d V V  = 2  d 1 V =  称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单 位体积内粒子出现的概率。 2 

例题13-15作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范 围内。已知其波函数为w(x)=Asin(x/a) 试求：（1)常数A; (2)粒子在0到a/2区域出现的概率； (3)粒子在何处出现的概率最大？ 解：（1)由归一化条件得： 【oo咖=1户4-月 (2)粒子的概率密度为： lwp-2sinx 2 a a 让美觉返司退

上页 下页 返回 退出 试求：（1）常数A； （2）粒子在0到a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？ 解:（1）由归一化条件得: （2）粒子的概率密度为: 例题13-15 作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范 围内。已知其波函数为 ( ) sin( ) x A x a = π 2 2 0 sin ( ) 1 a A x a x =  π d 2 a A = 2 2 2 sin x a a  = π

在0<x</2区域内，粒子出现的概率为 w- dx= a 2 (3)概率最大的位置应满足 db-o dx 2TX=km,k=0±1，±2，士3， a 因0<x<a/2,故得 a 粒子出现的概率最大。 2

上页 下页 返回 退出 在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为 （3）概率最大的位置应满足 因0<x<a/2,故得 粒子出现的概率最大。 2 2 2 2 0 0 2 1 sin 2 a a x V x a a  = =   π d d 2 0 x x  = d ( ) d 2 0 1 2 3 x k k a = =    ， ， ， ， ， π π 2 a x =

二、薛定谔方程 薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在 外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。 1.自由粒子的薛定谔方程 自由粒子平面波函数方程 w(x,t)=Woe 对x取二阶偏导数 8w Ox2 让美下觉返司速此

上页 下页 返回 退出 薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在 外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程。 二、薛定谔方程 1.自由粒子的薛定谔方程 自由粒子平面波函数方程 2 ( ) 0 ( , ) Et px x t π i   e − − = 对x取二阶偏导数 2 2 2 2 p x    = − 

对取一阶偏导数 8t 由于E= 2m 可得 尼a业=ih Ψ 2m 8x2 8t 一维自由粒子含时的薛定谔方程 让贰不觉返回退

上页 下页 返回 退出 对t取一阶偏导数 i E t  = −    由于 2 2 p E m = 可得 2 2 2 i 2m x t     − =   一维自由粒子含时的薛定谔方程

2.在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E=P+U(x) 2m 则可得 头+tv 8t 扩a2y+U(x,t0w=ih 2m0x2 8t 维运动粒子含时薛定谔方程 王文不美菠面：退收

上页 下页 返回 退出 2.在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 2 ( ) 2 p E U x t m = + ， 则可得 2 i ( ) 2 p U x t t m      = − +      ， 2 2 2 ( ) i 2 U x t m x t      − + =   ， 一维运动粒子含时薛定谔方程

质量为m的粒子在势能为 U(x,的外力场中运 动，含时薛定谔方程为： 二音器产+xw=告 2m &x2 02 62 拉普拉斯算符 3之 v2w+Ux,yz,0w=ih1 w 2m 8t 一般的薛定谔方程 让意了意适回退块

上页 下页 返回 退出 质量为m的粒子在势能为 的外力场中运 动，含时薛定谔方程为： U x y z t ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , , , ) i 2 U x y z t m x y z t          − + + + =     拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 2 x y z      + +    2 2 ( , , , ) i 2 U x y z t m t     −  + =  一般的薛定谔方程

3.定态薛定谔方程 讨论势能函数与时间无关的情形，即U(x,y,) 此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状 态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。 用分离变量法： V(x,y,z,1)=W(x,y,z)f(t) 代入薛定谔方程，采用分离变量，得到 [-vw,y）+U.y.W(x八月 2m w(x,y,=) =ih af(t)1 at f(t) 让美觉返司退

上页 下页 返回 退出 用分离变量法： 代入薛定谔方程，采用分离变量，得到   ( , , , ) ( , , ) ( ) x y z t x y z f t = 3.定态薛定谔方程 讨论势能函数与时间无关的情形，即 此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状 态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。 U x y z ( , , ) 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) x y z U x y z x y z m x y z      −  +     ( ) 1 ( ) f t t f t  =  i