复旦大学：《医学物理与实验》参考资料（弯曲法测人造骨杨氏模量）横梁杨氏模量的公式推导

弯曲法测量杨氏模量公式的推导 固体、液体及气体在受外力作用时,形状与体积会发生或大或小的改变,这统称为形变。当外力不太 大,因而引起的形变也不太大时,撤掉外力,形变就会消失,这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长 变、切变和体变三种 段固体棒,在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力2,其长度 表示横截面面积,称为应力,相对长变为应变。在弹性限度内,根据胡克定律有 S d/ Y称为杨氏模量,其数值与材料性质有关 以下具体推导式子: 4a2b△z 在横梁发生微小弯曲时,梁中存在一个中性面,面上部分发生压缩,面下部分发生拉伸,所以整体说 ,可以理解横梁发生长变,即可以用杨氏模量来描写材料的性质。 如图所示,虚线表示弯曲梁的中性面,易知其既不拉伸也不压缩,取弯曲梁长为的一小段 R(x)

弯曲法测量杨氏模量公式的推导 固体、液体及气体在受外力作用时，形状与体积会发生或大或小的改变，这统称为形变。当外力不太 大，因而引起的形变也不太大时，撤掉外力，形变就会消失，这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长 变、切变和体变三种。 一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力 ，其长度 发生改变， 。以 表示横截面面积，称 为应力，相对长变 为应变。在弹性限度内，根据胡克定律有： Y 称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。 以下具体推导式子： ； 在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸，所以整体说 来，可以理解横梁发生长变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。 如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为 的一小段：

设其曲率半径为2(x),所对应的张角为d日,再取中性面上部距为y厚为的一层面为研究对象, 那么,梁弯曲后其长变为(R(x)-y)d,所以,变化量为 de=r(x). (R(x)->)-d8-dx=(R(x)-y dx - dx= R(x) R(x 所以应变为: R(x):(变化量为△,.d为D dF 根据虎克定律有 R(x y. b 所以 R(x) rb V= 对中性面的转矩为: 积分得 12R(x) 12·R(x) (1) 对梁上各点,有 ()+y(x 因梁的弯曲微小 (x)=0 R(x) 所以有 Mg 梁平衡时,粱在不处的转矩应与梁右端支撑力2对x处的力矩平衡, 4(x) 所以有

设其曲率半径为 ，所对应的张角为 ，再取中性面上部距为 厚为 的一层面为研究对象， 那么，梁弯曲后其长变为 ，所以，变化量为： 又 ； 所以 ； 所以应变为： ； （变化量为l，dx 为 l） 根据虎克定律有： ； 又 ； 所以 ； 对中性面的转矩为： ； 积分得： ； （1） 对梁上各点，有： ； 因梁的弯曲微小： ； 所以有： ； （2） 梁平衡时，梁在 处的转矩应与梁右端支撑力 对 处的力矩平衡， 所以有： ； （3）

根据(1)、(2)、(3)式可以得到 据所讨论问题的性质有边界条件 y(0)=0.y0=0 解上面的微分方程得到 (x) 将2代入上式,得右端点的”值 Mg. d y 4Y,a Me 所以,杨氏模量为 b AZ 上面式子的推导过程中用到微积分及微分方程的部分知识,作者之所以将这段推导写进去,是希望学 生和教师在实验之前对物理概念有一个明晰的认识 材料来自北京航空航天大学物理实验教学中心电子讲义

根据（1）、（2）、（3）式可以得到： ； 据所讨论问题的性质有边界条件； ； ； 解上面的微分方程得到： 将 代入上式，得右端点的 值： ； 又 ； 所以，杨氏模量为： 上面式子的推导过程中用到微积分及微分方程的部分知识，作者之所以将这段推导写进去，是希望学 生和教师在实验之前对物理概念有一个明晰的认识。 材料来自北京航空航天大学物理实验教学中心电子讲义