《工程力学》课程教学资源（理论力学，PPT课件）第三章 力矩与平面力偶理论

第三章力矩与平面力偶理论

第三章 力矩与平面力偶理论

平面中力矩的概念力对点的矩的定义福3.1力矩的概念与计算人力使刚体绕O点转动的强弱H程度的物理量称为力对0点的矩。用m。(F)表示，其定义式为：m,(F)=±Fd其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿·米（N·m）。由图可知：m。（F）=±△OAB的面积

力 矩 的 概 念 与 计 算 一、平面中力矩的概念 3.1 o A B d F  一、力对点的矩的定义 力使刚体绕O点转动的强弱 程度的物理量称为力对O点 的矩。用 m (F) o  表示，其定 义式为： mo (F) = Fd  其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表 示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取 正，反之取负。力矩的单位为：牛顿  米（N m  ）。 由图可知： mo (F) = OAB  的面积

平面中力矩的概念平面汇交力系的合力矩定理3.1定理：平面汇交力系的合力对平面内任意力矩的概念与计算一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即m(R)=Em,(F)V利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解AX析表达式，即x01xm.(F) = m.(Y)+m,(X) =Y ·x- X · y

3.1 力 矩 的 概 念 与 计 算 一、平面中力矩的概念 二、平面汇交力系的合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任意 一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代 数和。即 ( ) ( ) mo R mo Fi   =  o x x y y F  X  A Y  利用合力矩定理，可以 写出力对坐标原点的矩的解 析表达式，即 m F m Y m X Y x X y o o o ( ) = ( ) + ( ) =  −    

例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm3.1F=100N. α = 30°力矩的概念与计算Fd.a求F对A、B、C三点之矩AD解：由定义m,(F)=-Fd, =-F.AD·sin 30°=-225N·mBmc(F)=-Fdc=-F.CD.sin 30°= -75N·m由合力矩定理ms(F)=-F ·AB-F,-AD=F.cos30°:AB- F.sin 30°: AD = -48.48N m

3.1 力 矩 的 概 念 与 计 算 例1 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,   = 30 求 F 对A、B、C三点之矩。   F  A B C D A d C d 解：由定义 m F F d F C D N m m F F d F AD N m C C A A = − = −   = −  = − = −   = −    ( ) sin 30 7 5 ( ) sin 30 22 5     由合力矩定理 F AB F AD N m mB F Fx AB Fy AD   −   = −  = −  −  = cos30 sin 30 48.48 ( )   

例2ty如图所示，求F对A点的矩乍　解一：应用合力矩定理3.1.m,(F)=m,(F.)+m,(F,)o力矩的概念与计算B=-F cosα(r2-ri cosα)+ F sin αr sin α77777A= -Fr, cosα+ Fr(sin ~ α + cos~ α)= F(r -r, cosα)rirAB = r2解二：由定义 OB=cosαcosad= ABcosα=r, cosα-rm,(F)=-Fd = F(ri -r cosα)

3.1 力 矩 的 概 念 与 计 算 例2 O  x y F  A 1 r 2 r B d 如图所示，求F对A点的矩。 解一：应用合力矩定理 ( cos ) cos (sin cos ) cos ( cos ) sin sin ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 1         F r r Fr Fr F r r F r mA F mA Fx mA Fy = − = − + + = − − + = +    解二：由定义 cos 1 r OB = cos 1 2 r AB = r − 2 1 d = ABcos = r cos −r ( ) ( cos ) mA F = −Fd = F r1 − r2  

力偶的概念在力学中，把等值F3.2反向、平行而不共线的力偶及其性质d两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为力L偶。 以(F,F)表示两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面两力作用线间的距离称为力偶臂力偶是具有特殊关系的力组成的力系虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：

3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的概念 d F  F  在力学中，把等值、 反向、平行而不共线的 两个具有特殊关系的力 作为一个整体，称为力 偶。以 (F, F) 表示。   两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面， 两力作用线间的距离称为力偶臂。 力偶是具有特殊关系的力组成的力系， 虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质， 但作为一个整体又有它本身的特性，现归 纳如下：

一、力偶的性质1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是3.2一个基本的力学量。力偶及其性质力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡力偶只能与力偶平衡。力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩用m表示，即m=±Fd顺时正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正：针取负单位同力矩的单位

3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的性质 1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是 一个基本的力学量。 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此： 力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 力偶只能与力偶平衡。 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的 大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大 小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩， 用m表示，即 m = Fd 正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正；顺时 针取负。单位同力矩的单位

一、力偶的性质2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶3.2可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚力偶及其性质体的作用。此性质是力偶系合成的基础由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。力偶可表示为：mm

3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的性质 2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变 力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶 可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚 体的作用。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩 相等。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因 素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数 量。 力偶可表示为： m m

力偶的性质3.23、力偶在作用面内任一轴上的投影均为零力偶及其性质4、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩

3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的性质 3、力偶在作用面内任一轴上的投 影均为零。 4、力偶对其作用面内任一点之矩 与矩心的位置无关，恒等于力偶矩

一、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为平面力偶系3.3L平面力偶系的合成与平衡R'mAbBm,mAaIRE应m =Fd m =Fd m, =-FdR=F+F -F R'=-(F+F -F)M=Rd =(F+F, -F)d=m +m2 +m推广得: M = m +m, +...+m, =Zm结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和

3.3 平 面 力 偶 系 的 合 成 与 平 衡 一、平面力偶系的合成 作用面共面的力偶系称为平面力偶系。 m1 m2 m3 A B F1   F1  F2   F2  F3  F3   d d R  R   A B m1 = F1 d m2 = F2 d m3 = −F3 d R = F1 + F2 − F3 ( ) R = − F1 + F2 − F3  1 2 3 1 2 3 M = Rd = (F + F − F )d = m + m + m 推广得： M = m1 + m2 ++ mn = m 结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称 为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩 的代数和