中国科学技术大学：《量子化学 Quantum Chemistry》课程教学资源（讲稿）第三讲 分子的对称性与群论基础——群（GROUP）与分子点群（POINT GROUP）

第三讲：分子的对称性与群论基础 群(GROUP)与分子点群(POINT GROUP)

第三讲：分子的对称性与群论基础 群(GROUP)与分子点群(POINT GROUP)

群与分子点群 1.群的定义(Group) 考虑一组元素的集合G{A,B,C,.},元素之间可以定义结合规 则“乘法”，若满足以下条件，则称该组元素的集合构成一个群： (1)封闭性(closure) 若A和B是该集合的任意两个元素，则它们的积AB也一定是 该集合的元素。 (2)结合性(associativity) 结合规则满足结合律： (AB)C=A(BC) (3)恒等元素(Identity element) 该集合必须含有一个元素E,对于该集合中的任何元素A, 都有：AE=EA=A (4)逆元素(Inverse element) 对于该集合的任何元素A,一定有一个逆元素A-1,它也是 该集合的一个元素，使得： AA-1=A-1A=E。 D 2

1. 群的定义 (Group) 2 考虑一组元素的集合G{A，B，C， .},元素之间可以定义结合规 则“乘法” ,若满足以下条件,则称该组元素的集合构成一个群: (4) 逆元素 (Inverse element) 对于该集合的任何元素 A，一定有一个逆元素A -1 ，它也是 该集合的一个元素，使得： AA-1= A -1A = E 。 (3) 恒等元素 (Identity element) 该集合必须含有一个元素 E，对于该集合中的任何元素 A， 都有：AE=EA=A (2) 结合性 (associativity) 结合规则满足结合律: (AB)C=A(BC) (1)封闭性 (closure) 若A和B是该集合的任意两个元素，则它们的积AB也一定是 该集合的元素。 群与分子点群

群与分子点群 1.群的定义 *群元素： 数、矩阵、对称操作、算符 米 群元素： 假定群里的元素都不相同 *阶： 群元素的数目 (order of group) 米 乘法： 元素间的某种结合规则，须满足结合律。 乘积元素的逆： (AB)-1=B1A-1 (B1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B=E *交换群： 如果所有的群元素间的乘法全都对易（即AB=BA, AC=CA,.),则称为阿贝尔群(Abelian group)或交换群 (commutative group).。 特例是循环群：（群的所有元素可由某个元素的自身乘积产生） (cyclic group) 例如： C3群 C,Ci,=B

1. 群的定义 3 * 群元素: 数、矩阵、对称操作、算符 * 群元素： 假定群里的元素都不相同 * 阶： 群元素的数目 (order of group) * 乘法： 元素间的某种结合规则，须满足结合律。 乘积元素的逆： (AB)-1 = B -1A -1 (B -1A -1)(AB) =B-1 (A-1A)B=E * 交换群： 如果所有的群元素间的乘法全都对易 (即 AB=BA, AC=CA,.)，则称为阿贝尔群( Abelian group)或交换群 (commutative group)。 特例是循环群:（群的所有元素可由某个元素的自身乘积产生） (cyclic group) 例如： C3群： C C C ˆ E ˆ , ˆ , ˆ 3 3 2 3 3 = 群与分子点群

群与分子点群 2.例子 1)、全部正、负整数及零的集合，结合规则是数的加法 说明 (1)结合性：数的加法具有结合性 (2)封闭性：整数的加和仍为整数 (3)恒等元素：0 (4)逆元素：相反数(1与-1,2与-2，.) 2)、数组：G={+1,-1,-,结合规则是数的乘法 说明：(1)结合性： 满足 (2)封闭性： 满足 (3)恒等元素：+1 (4)逆元素： (i)-1=-i,（-1)-1=-1 同理： 数组 G={+1,-0 构成二阶群 G={+1} 构成一阶群

2. 例子 4 1)、全部正、负整数及零的集合,结合规则是数的加法 说明 (1) 结合性：数的加法具有结合性 (2) 封闭性：整数的加和仍为整数 (3) 恒等元素： 0 (4) 逆元素：相反数 （1 与 -1，2 与 -2，.） 2)、数组：G = {+1, -1, i, -i}, 结合规则是数的乘法 说明 : (1) 结合性： 满足 (2) 封闭性： 满足 (3) 恒等元素： +1 (4) 逆元素： ( i ) -1 = -i , ( -1 )-1 = -1 同理： 数组 G = {+1, -1} 构成二阶群 G = {+1 } 构成一阶群 群与分子点群

群与分子点群 思考？ 1)、全部正、负整数的集合，结合规则是数的乘法 2)、全部正、负整数与零的集合，结合规则是数的乘方

思考？ 5 1)、全部正、负整数的集合,结合规则是数的乘法 群与分子点群 2)、全部正、负整数与零的集合,结合规则是数的乘方

群与分子点群 2、例子 (Point Group) 3)、分子全部对称操作的集合构成一个群-一-一 分子点群 (1)封闭性： 若A和B是分子的对称操作， 则AB必是分子的对称操作。 (2)单位元：恒等操作 (3) 逆元素：逆操作（⑥）=6，(Cn)=Cm,. (4) 结合律：(R)=(R) 例：NH分子-C3w群(6阶){色，C,Cg,6,6'G"} 6

2、例子 6 群与分子点群 3)、分子全部对称操作的集合构成一个群 - 分子点群 (1) 封闭性： 若 A和B是分子的对称操作， 则 AB 必是分子的对称操作。 (3) 逆元素：逆操作 (4) 结合律： (2) 单位元：恒等操作 , . ˆ ) ˆ ( ˆ) ˆ , ( −1 −1 −1 = = n   Cn Cn ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ (R3 R2 R1 = R3 R2 R1 例：NH3分子 - C3V 群（6阶）  ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ ' , ˆ "  2 E C3 C3  V  V  V (Point Group)

群与分子点群 3、分子点群 1)点群：分子所有对称操作构成的群（质心不动） 2)基本分类 (1)无Cn轴：C,C,C (2)有1个Cn轴：Cn,CM,Cm,S2nm (3)1个Cn轴+n个⊥C2:Dn,Dh,Dnd (4)多面体群：T,O,Ih,Ka (S)线性分子：Cw,Dh

3、分子点群 7 群与分子点群 1）点群：分子所有对称操作构成的群（质心不动） 2）基本分类 ( ) 1 1 , , 无C C C C n s i 轴： ( ) 2 2 1 , , , 有 个C C C C S n n nh nv n 轴： ( ) 2 3 1 + : , , 个C n C D D D n n nh nd 轴 个⊥ (4 , , , )多面体群：T O I K d h h h (5 , )线性分子：C D   v h

群与分子点群 3、分子点群 无Cn轴群 1、 C点群 无对称元素 仅有对称操作： E 2、 C 点群 仅有一个对称面 对称操作： E,6 3、C,点群 仅有一个对称中心 对称操作： 龙，i H 企i○1Br

3、分子点群 8 1、 C1 点群 仅有对称操作: E ˆ H C F Br Cl - 无对称元素 2、 点群 Cs ,  ˆ 对称操作 E ˆ : H C F F Cl - 仅有一个对称面 3 、 点群 - 仅有一个对称中心 对称操作: Ci E i ˆ , ˆ C C O O O O H H 群与分子点群 无Cn轴群

群与分子点群 3、分子点群 单Cn轴群 Cn点群：只有一个Cn对称元素(symmetry element) Cn={,C2,.,C-1,E} 群的阶数：n CH,CF(扭曲式) CH,CE(扭曲式) H202 9

9 3、分子点群 群与分子点群 单Cn轴群 Cn 点群： 只有一个 Cn 对称元素(symmetry element) Cn = {𝐶መ 𝑛 1 , 𝐶መ 𝑛 2 , . , 𝐶መ 𝑛 𝑛−1 , 𝐸෠} 群的阶数：n

群与分子点群 3、分子点群 单Cn轴群 Cnh点群：有一个Cn+oh对称元素 Cnh={C%,C免，C-1,Gn,C=1,2n-1G,E}群的邹阶数2n >10

10 3、分子点群 群与分子点群 单Cn轴群 Cnh 点群： 有一个 Cn + σh 对称元素 Cnh = {𝐶መ 𝑛 1 , 𝐶መ 𝑛 2 , . , 𝐶መ 𝑛 𝑛−1 , 𝜎 ො ℎ, 𝐶መ 𝑛 𝑖=1,2,.,𝑛−1 𝜎 ො ℎ, 𝐸෠} 群的阶数 2n