福州大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件讲稿，电磁场、热学）05 等势面场强与电势的微分关系

等势面电势梯度

1 等势面 电势梯度

引:U E·dl…场强电势的积分关系 等势面 等势面:将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫 做等势面.即U(x,y,z)=C的空间曲面称为等势面。等 势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 规定:画等势面时,相邻两个等势面的电势差为常数 等势面 等势面

2   =  a a U E dl   引： …..场强电势的积分关系 等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫 做等势面.即 的空间曲面称为等势面。等 势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 U(x, y,z) = C 规定：画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。 等势面 等势面 一、等势面

等势面的性质: 1在静电场中,沿等势面移动电荷时,静电场力对此 电荷不作功。 证明:A=qnEa=qUb b q0(Ua-U6)=0等势面 2除电场强度为零处外,电力线与等势面垂直。N 证明:因为将单位正电荷从等势面上M点移到dl N点,电场力做功为零,而路径不为零。 dA=E.ll= talcose=0∴E⊥观l 3由于规定了两个相邻等势面的电势差相等,所以等 势面较密集的地方,场强较大。等势面较稀疏的地方 ,场强较小

3 等势面的性质： 证明： 1.在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此 电荷不作功。 dl  M N E  ( ) = q0 Ua −Ub  =  = b a q Uab A q E dl 0 0   a b = 0 等势面 2.除电场强度为零处外，电力线与等势面垂直。 证明： dAMN = E  dl = Edlcos = 0    E dl   ⊥ 3.由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等 势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方 ，场强较小。 因为将单位正电荷从等势面上M点移到 N点，电场力做功为零，而路径不为零

4电力线的方向指向电势降低的方向。等势面 证明:假设电荷q由2移到1, 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功, 电势能减少。 E A21=-(En1-En2)=En2-En=q0(U2-U71)>0 U,-U1>0∴U2>U1E的方向为电势降低的方向。 、电势梯度 utd 取两个相邻近的等势面1 和2,电势分别为U和U+dU, P 且dU>0, 2 规定:等势面的法线正方向为指 向电势升高的法线方向。 E

4 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功， 电势能减少。 4.电力线的方向指向电势降低的方向。 证明：假设电荷q0由2移到1， U2 −U1  0 U2 U1 E  2 等势面 dl  1 2 1 1 2 2 1 ( ) A = − Ep − Ep = Ep − Ep = q0 (U2 −U1 )  0 E 的方向为电势降低的方向。  U dl  dn U +dU P3 P1 P2 E  n e  1 2 取两个相邻近的等势面1 和2，电势分别为U和U+dU, 且dU>0,. 规定：等势面的法线正方向为指 向电势升高的法线方向。 二、电势梯度

定义电势梯度矢量: u+du 大小.dC 2 方向:沿着等势面的正法线方向 写成矢量式: gradus dv e=VUE 算符grqd=V=oda;0 i+j+k 电势梯度ⅴU是一个矢量, 它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。 如果过P沿方向的电势增加率为,,d与en的夹角 为0。 dudU 有 -coSO( dn=dl cos 0)

5 n e dn dU gradU  = 定义电势梯度矢量： 大小： 方向： dn dU 写成矢量式： = U 算符 grad =  k z j y i x      +   +   = 电势梯度 U 是一个矢量， 它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。 如果过P1沿 方向的电势增加率为 ， 与 的夹角 为。 dl  dl dU dl  n e  cos dn dU dl dU = 沿着等势面的正法线方向。  有： U dl  dn U +dU P3 P1 P2 E  n e  1 2 (dn = dl cos )

三、场强与电势的微分关系 u+dU 电场强度的方向与电势梯度矢量 的方向相反,即E与e,反向 如、 根据场强与电势的积分关系,有: E Edl=U1-U2=U-U+d)=-de 即:Ecos=-U do E 场强与电势的微分关系 写成矢量式E% dl cos e VU 电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量 的负值

6 根据场强与电势的积分关系，有： U1 U2 E  dl = −   =U − (U + dU) = −dU 即： Ecosdl = −dU dl cos dU E = − dn dU = − 电场强度的方向与电势梯度矢量 的方向相反，即 E 与 反向。  n e  写成矢量式： n e dn dU E   = − 电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量 的负值。 场强与电势的微分关系 = −gradU = −U U  dl  dn U +dU P3 P1 P2 E  n e  1 2 三、场强与电势的微分关系

在直角坐标系中:F_O0U0U k 注意几点: 1.“-”表示电场强度的方向为电势降低的方向。 2沿等势面法线方向场强最大 在任意方向上,场强的分量为: e=Ecos 0 cos0= 3等势面密处,场强大,电力线也密。等势面疏处, 场强小,电力线也疏。 4场强反映场点处的电势的“变化率”,E与V无直 接的关系。电势为零的地方,场强不一定零。场强为 零的地方,电势不一定为零。 7

7 在直角坐标系中： k z U j y U i x U E       −   −   = − 在任意方向上，场强的分量为： cos dn dU = − 注意几点： 1.“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。 2.沿等势面法线方向场强最大。 3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处， 场强小，电力线也疏。 4.场强反映场点处的电势的“变化率”，E 与 V 无直 接的关系。电势为零的地方，场强不一定零。场强为 零的地方，电势不一定为零。 n e dn dU E   = − El = Ecos dl dU = −

4场强反映场点处的电 。U=0.E≠0势的“变化率”,E与 q V无直接的关系。电势 U≠0,E=0为零的地方,场强不 定零。场强为零的地方, 电势不一定为零。 5电势不变的空间场强一定为零。 6只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。 如果知道电场强度在空间的分布情况,则根据电 场强度与电势的积分关系U=E,d,可以求出 电势的分布; 如果知道电势在空间的分布,则根据电场强度与 电势的微分关系=- gradU进行偏微商运算求得 电场强度的分布

8 6.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。 q + + o q q + - o − q U  0,E = 0  U = 0,E  0  5.电势不变的空间场强一定为零。 如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电 场强度与电势的积分关系 ，可以求出 电势的分布；   =  a a U E dl   如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与 电势的微分关系 进行偏微商运算求得 电场强度的分布。E = −gradU  4.场强反映场点处的电 势的“变化率”，E 与 V 无直接的关系。电势 为零的地方，场强不一 定零。场强为零的地方， 电势不一定为零

例:均匀带电圆盘半径为R,面电荷密度为σ,求轴 线上一点的场强。 解:由带电圆盘轴线上一点的电势公式 (√x2+R2-x) 0 由于等势面法线方向与x轴相同, O aU E OU→ an ar aL E (R2+x2-x) Ox x 2 8 2x 1) 26n2√R2+x2 2 +x℃

9 例：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为  ，求轴 线上一点的场强。 解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式 ( ) 2 2 2 0 U = x + R − x   由于等势面法线方向与 x 轴相同， i x U    = − o R x n e n U E     = − x U E   = −       + −   = − ( ) 2 2 2 0 R x x x   1) 2 2 1 ( 2 2 2 0 − + = − R x x         + = − 2 2 0 1 2 R x x  