重庆邮电大学：《高等电磁场理论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第15讲 时域有限差分法（二维FDTD）

时城有限差分法 二维FDTD 2021/12/10

2021/12/10 1 二维FDTD 时域有限差分法

二维FDTD 重写 Maxswel方程组 H at E ()=6()E(o) ah VXE E0/0 维 Maxswel程组标量方程 aD 1. aH E D(o)=6()E(o) aH 1 aE at aE OX 2021/12/10

2021/12/10 2 重写Maxswell方程组 0 0 D 1 t    =   H 0 0 1 t    = −   H E ( ) ( ) ( ) * D     = E r 二维Maxswell方程组标量方程 0 0 z 1 y x H H t x y        = −        D 0 0 x 1 H z t y     = −   E ( ) ( ) ( ) * D z r z     = E 0 0 y 1 z H t x     = −   E 二维FDTD

对时间和空间差分后,迭代公式 (H”(+1/2.n)-H(-1/2,/) o (H(+1/2)-H(j-1/2) E0/0 -1 1△t (E2(2)+1)-E2(n,) H H.(.j+ l6nAAx(:(t+1,)-En12(,) E n+1/2 2021/12/10

2021/12/10 3 对时间和空间差分后，迭代公式 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 1/2 1/2 0 0 0 0 1 , , 1/ 2, 1/ 2, 1 , 1/ 2 , 1/ 2 n n n n z z y y n n x x t i j i j i j i j x t i j i j y     + −  = + + − −   − + − −  D D H H H H ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1/2 1/2 0 0 1 , , , 1 , n n n n x x z z t i j i j i j i j   y + + +  = − + −  H H E E ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1/2 1/2 0 0 1 , , 1, , n n n n y y z z t i j i j i j i j   x + + +  = + + −  H H E E

E Ez Er H H I H I + I i+2 Figure 3. 1 Inter leaving of the E and H fields for the two-dimensional TM formulation D2(,)=D2(,)+05(H(+1/2,n-H(-1/2 05(H(+1/2)H"(-1/2) H(,)=H(0)-05(E2(n+1)-E(2/) 2021/12/10 H“(,)=H”()+05(E(+1)-E"2(,)

2021/12/10 4 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 1/2 1/2 , , 0.5 1/ 2, 1/ 2, 0.5 , 1/ 2 , 1/ 2 n n n n z z y y n n x x i j i j i j i j i j i j + − = + + − − − + − − D D H H H H ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1/2 1/2 , , 0.5 , 1 , n n n n x x z z i j i j i j i j + + + H H E E = − + − ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1/2 1/2 , , 0.5 1, , n n n n y y z z i j i j i j i j + + + H H E E = + + −

取时间间隔取 △t Ax 2 D2()=D2(,)+05(H"(+1/2,)-H"(-1/2,) 05(H(j+1/2)-H"(-1/2) H“(,)=H(,)-0.(E(2+1)-E2(,) H"()=H(,)+05(E2(+1,)-E() dz(,j)=dz(j)+0.5*(hy(i)-hy(-1,j)-hx(j)+hx(-1); ez i,j=ga(D*dz(i,j) hx(i,j)=hx(i,j)+0.5*( ez(i,j)(i,j+1) hy(i,j)=hy (,]+0.5*( ez(i+1,j)-ez (i,j)) surf(1: IE, 1:JE, ez axis([16016001]) drawnow 2021121ause(0.05);

2021/12/10 5 取时间间隔 dz(i,j) = dz(i,j) + 0.5 *( hy(i,j) - hy(i-1,j) - hx(i,j) + hx(i,j-1)); ez(i,j) = ga(i,j)*dz(i,j); hx(i,j) = hx(i,j) + 0.5 *( ez(i,j)- ez(i,j+1)); hy(i,j) = hy(i,j) + 0.5 *( ez(i+1,j)- ez(i,j)); ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 1/2 1/2 , , 0.5 1/ 2, 1/ 2, 0.5 , 1/ 2 , 1/ 2 n n n n z z y y n n x x i j i j i j i j i j i j + − = + + − − − + − − D D H H H H ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1/2 1/2 , , 0.5 , 1 , n n n n x x z z i j i j i j i j + + + H H E E = − + − ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1/2 1/2 , , 0.5 1, , n n n n y y z z i j i j i j i j + + + H H E E = + + − 1 2 c t x  =  取 surf(1:IE,1:JE,ez) axis([1 60 1 60 0 1]); drawnow; pause(0.05);

T20 「=30 0.4 T40 T50 0.8 0.6

10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T=20 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T=30 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T=40 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T=50

32完美匹配层 为什么要使用完美匹配层? 假如我们要仿真一个如图1所示点波源产生的信号在自由空间中进行 传播,随着波向外传播,不可避免的要碰到编程所限制的空间边沿。如 果我们不对此进行任何处理的话,仿真中便会产生不可预测的反射信号。 图1点波源在自由空间中的传输 2021/12/10

2021/12/10 7 3.2 完美匹配层 为什么要使用完美匹配层 ？ 假如我们要仿真一个如图1 所示点波源产生的信号在自由空间中进行 传播，随着波向外传播，不可避免的要碰到编程所限制的空间边沿。如 果我们不对此进行任何处理的话，仿真中便会产生不可预测的反射信号。 图1 点波源在自由空间中的传输

完美匹配层( Perfectly matched Layer,PML)是由 Berenger提 出的,使用最为灵活、广泛的一种ABc( Absorbing Boundary Conditions)。其基本原理是:电磁波的反射量由两个介质的波 阻抗决定 774-77B 其中 若两媒质不同,则会产生反射。 ≯若两媒质相同,则没有反射发生。但波继续在传播。 >我们的要求??? 2021/12/10

2021/12/10 8 完美匹配层（Perfectly matched Layer, PML）是由Berenger 提 出的，使用最为灵活、广泛的一种ABC（Absorbing Boundary Conditions）。其基本原理是：电磁波的反射量由两个介质的波 阻抗决定： A B A B      − = + 其中    = ➢若两媒质不同，则会产生反射。 ➢若两媒质相同，则没有反射发生。但波继续在传播。 ➢我们的要求？？？

频域的 Maxwel方程 1/aHaH JOD Eolo(Ox D(O=E(OEo 1 aE JoH Eolo I aE joH 2021/12/10

2021/12/10 9 频域的 Maxwell 方程 0 0 1 y x z H H j x y        = −       D 0 0 1 z x j H y     = −  E ( ) ( ) ( ) * D z r z     = E 0 0 1 z y j H x     = −  E

在前面的计算中对μ和ε进行了归一化,为了去除归一化的影响,在此 我们加入虚构的介电常数和介磁常数e*、μF*和μ 1 OH, aH jaD EF (xE=(y) 1(, aH JOD Eolo FoAo(Ox D(o)=6(o)E(o) D(O)=(OE(o 1 aE aE JoH jOH AF (xua(y)=-co E00 aE JOH aE OH AFY (uFY(y) 注意:(1)εF2*与磁通密度D有关,而不是电场强度E。(2)我们都加入 了虚构的介电常数和介磁常数EH2*、中R*和ψ*,而对第二式没有加入。原 因是那些虚构的介电常数和介磁常数EF*、卩F*和u*是在PML中使用的, 酤踌,舶媒质的介电常数并没有真正的影响 10

2021/12/10 10 在前面的计算中对μ 和ε 进行了归一化，为了去除归一化的影响，在此 我们加入虚构的介电常数和介磁常数ε Fz * 、 μ Fx *和μ Fy * 0 0 1 y x z H H j x y        = −       D 0 0 1 z x j H y     = −  E ( ) ( ) ( ) * D z r z     = E 0 0 1 z y j H x     =  E ( ) ( ) * * 0 0 1 y x z Fz Fz H H j x y x y          = −       D ( ) ( ) ( ) * D z r z     = E ( ) ( ) * * 0 z x Fx Fx j H x y c y     = −  E ( ) ( ) * * 0 z y Fy Fy j H x y c x     =  E 注意：（1）ε Fz *与磁通密度D 有关，而不是电场强度E。（2）我们都加入 了虚构的介电常数和介磁常数ε Fz* 、 μ Fx *和μ Fy *，而对第二式没有加入。原 因是那些虚构的介电常数和介磁常数ε Fz* 、 μ Fx *和μ Fy *是在PML 中使用的， 对特定的媒质的介电常数并没有真正的影响