复旦大学：《固体物理导论》教学课件_第一章 晶体的结构及其对称性 1.3 倒点阵（Reciprocal lattice）

13倒点阵 (Reciprocal lattice) 定义 倒点阵和晶体点阵的关系 三.倒点阵的物理意义 四.倒点阵实例

1.3 倒点阵 (Reciprocal lattice) 一. 定义 二. 倒点阵和晶体点阵的关系 三. 倒点阵的物理意义 四. 倒点阵实例

倒点阵的概念是 Ewald1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的,对我们理解 衍射问题极有帮助,更是整个固体物理的 核心概念 个物理问题,既可以在坐标空间(正空 间)内描述,也可以在动量空间(倒空间) 描述。适当的选取空间描述问题可以简化 处理 在实质上,动量空间是坐标空间的傅里叶 变换

• 倒点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解 衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的 核心概念。 • 一个物理问题，既可以在坐标空间（正空 间）内描述，也可以在动量空间（倒空间） 描述。适当的选取空间描述问题可以简化 处理。 • 在实质上，动量空间是坐标空间的傅里叶 变换

定义:假设a1,a2a3是一个晶格的基矢,该点阵的格矢 为:R1=(1a1+l2a2+l3a3)原胞体积是:9=a1·(a2×a3) 现在定义另一晶格的3个基矢:b,b,b3,它们与a,42,3的关系 满足: 丌,l 2n6.= 101≠)=123 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢a1,a2,3的格子为正格子, 则b,b2b3的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量Kn=(h1b1+h2b2+h3b3)就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的2丌因子,对于晶体学家来说并没有多大用处, 但对于固体物理研究却带来了极大的方便

一.定义：假设 是一个晶格的基矢，该点阵的格矢 为：𝑅𝑙 = 𝑙1𝑎 1 + 𝑙2𝑎 2 + 𝑙3𝑎 3 原胞体积是： 现在定义另一晶格的3个基矢： ，它们与 的关系 满足： 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢 的格子为正格子， 则 的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量 就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的 因子，对于晶体学家来说并没有多大用处， 但对于固体物理研究却带来了极大的方便。 321 ,, aaa  )( aaa 321   321 ,, bbb  321 ,, aaa        ji ji bai j ij ,0 ,2 2     ji  3,2,1, 321 ,, aaa  321 ,, bbb  2 𝐾ℎ = (ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3)

证明:b=2丌 C1·(a2×a 倒格子的另一种定义 丌 (a2×a3) a1×a b2=2丌 Cl2×a ⊥ Ca X d1·b=c1(a2×a3)=2丌 2丌 a 2(a2XG3) a1·(a2×a 夜同理21x4)b.=2a× a1·(a,2

)( 2 321 32 1 aaa aa b        )( 2 321 13 2 aaa aa b        )( 2 321 21 3 aaa aa b        证明： 倒格子的另一种定义 ⊥ 3121⊥ , abab     321 aacb    aaacba 32111  2)(     )( 2 321 aaa c     )( )(2 321 32 1 aaa aa b        )( )(2 321 13 2 aaa aa b        )( )(2 321 1 2 3 aaa aa b        同理

对于正空间内任意矢量F=xa+x22+x2a3的性质,由晶体的 点阵连描述,称为正点阵,其可以用空间密度函数表示: p(F)=∑O(F-R) 其中R=la1+l2a2+l23(1、l2、1为整数)为正点阵基矢 对于倒空间内的任意矢量k=kb1+k2b2+k3b3, 由于a·b2=2n;,可以得到 k.R1=2(k1+k2l2+k3l3) 将正点阵P()进行傅里叶变换并记作p(k)。则有 )∑∫0(F-RF=∑e

对于正空间内任意矢量 的性质，由晶体的 点阵连描述，称为正点阵，其可以用空间密度函数表示： 其中 （ 、 、 为整数）为正点阵基矢。 对于倒空间内的任意矢量 ， 由于 ，可以得到 将正点阵 进行傅里叶变换并记作 。则有 1 1 2 2 3 3 r x a x a x a    ( ) ( )l l   r r R    R l a l a l a l    1 1 2 2 3 3 1 l 2 l 3 l 1 1 2 2 3 3 k k b k b k b    𝑎 𝑖 ⋅ 𝑏𝑖 = 2𝜋𝛿𝑖𝑗 1 1 2 2 3 3 2 ( ) l k R k l k l k l      ( )r ( ) k i i ( )= ( ) d l k r k R l l l   k r R e r e           

利用泊松求和公式∑e2m=∑6(x-h)可以得到: p()=∑ -12(k1+k2+k3y3) h12, 6(k-h)6(k2-h2)6(k-h2)=∑O(k一) 内,h2,h2 其中Kn=b+hb2+hb3,h、h在为整数

利用泊松求和公式 可以得到： 其中 ， 、 、 为整数。 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 i2 ( ) , , 1 1 2 2 3 3 , , ( ) ) ( ) ( ) ( ) k l k l k l l l l h h h h h k e k h k h k h k K                    （ 2 i ( ) lz l h e z h      K h b h b h b h    1 1 2 2 3 3 1 h 2 h 3 h

倒点阵和晶体点阵之间的关系: 倒点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的,可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系: 1.两个点阵的基矢之间满足正交关系: b·a1=2n6 I=J 0.i≠ 两个点阵的格矢之积是2x的整数倍:Rn·R1=2mn RnR=(1b1+h2b2+h2b)(4a1+12+12a) =2m(l1h1+l2h2+l3h3)=2mn 2.倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积: (b2×b3) (2丌)

二. 倒点阵和晶体点阵之间的关系： 倒点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系： 1. 两个点阵的基矢之间满足正交关系： 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 2. 倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积：         i j i j b a ij i i ij 0, 1, 2     2       3 1 2 3 * (2 ) ( )  b b b    𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3 𝑙1𝑎 1 + 𝑙2𝑎 2 + 𝑙3𝑎 3 = 2𝜋 𝑙1ℎ1 + 𝑙2ℎ2 + 𝑙3ℎ3 = 2𝜋𝑛

3.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵:由正点阵a、a、d,给出倒 点阵b1,b2,b3现假定b1,b2,b2为正点阵,则其 倒点阵根据定义为: 2丌 C2=b·(b2×b2) Q 利用三重矢积公式:Ax(BxC)=B(AC)-C(A·B) 可以得到:b2xb3 2丌 2兀(、×a2 (a2×a1)×—( 丌 a1(a3xa1a2)-a2(3×a1a1) Q g2∵.Q=b(b2×b)92=(2n)(a.·b)=(2r) 2(2x 1 同样可以证明:c2=a23=a3

3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵：由正点阵 给出倒 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒点阵根据定义为： 321 ,, aaa  321 ,, bbb  321 ,, bbb  )( 2 1 * 32 bbc      )( )( 321 321 * aaa bbb     利用三重矢积公式： BACCABCBA )()()(        可以得到：   11 2 1 * 22 c aa       3 11 2 321 * bbb  ba  )2()()2()(        1 2 11322131 2 32 13 21 2 )()( 2 )( 2 )( 2 aaaaaaaa a aaaabb                  同样可以证明： 3322 , acac   2

4.布里渊区 在固体物理中,很少使用由倒点阵基矢b,b2,b2围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞,因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区( Brillouin zone) 孩人社

4. 布里渊区 在固体物理中，很少使用由倒点阵基矢 围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞，而总是采用倒点阵的W-S初基元胞，因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 321 ,, bbb  倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区 (Brillouin zone)

5.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设α为正格子的一个点群对称操作,即当R为一正格矢时,gR1也为正格 矢,同样g-1R1也是正格矢。 由于Rn·R1=2mn h·g-Rt=2mn 由于点对称操作是正交变换,即保持空间两点距离不变的变换,两矢量 受同一点群对称操作作用,其点乘保持不变,即: gkh·ggRt=gkh:Rt=2mn 这样,对群中任一操作g,gRn和g-1应也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞,具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此,倒空间中的wS原胞(第1布里渊区)也具有晶 孩骆点群的全部对称性

5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设α为正格子的一个点群对称操作，即当𝑅𝑙为一正格矢时，𝑔𝑅𝑙也为正格 矢，同样𝑔 −1𝑅𝑙也是正格矢。 由于点对称操作是正交变换，即保持空间两点距离不变的变换，两矢量 受同一点群对称操作作用，其点乘保持不变，即： 由于 这样，对群中任一操作𝑔 ， 𝑔𝐾ℎ和𝑔 −1𝐾ℎ 也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞，具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此，倒空间中的WS原胞（第1布里渊区）也具有晶 格点群的全部对称性。 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝐾ℎ ∙ 𝑔 −1𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝑔𝐾ℎ ∙ 𝑔𝑔 −1𝑅𝑙 = 𝑔𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛