复旦大学：《固体物理导论》教学课件_第三章 晶格动力学和晶体的热学性质 3.3一维双原子链振动-3.4三维晶格振动（部分）

3.3一维双原子链振动 运动方程及其解 在前面单原子链的基础上,考虑有质量M和m(M>m)两个原子构成的双 原子链。 两者的位移为:m,1n N个元胞,每个元胞2个原子 晶格常数a,系统总自由度2N m M

3.3 一维双原子链振动 一、运动方程及其解 在前面单原子链的基础上，考虑有质量M和m(M>m)两个原子构成的双 原子链。 两者的位移为： N个元胞，每个元胞2个原子 晶格常数a，系统总自由度2N

m 同样考虑原子链无穷长,简谐近似,只考虑最近邻作用。 第n个元胞中的2个原子的运动方程是 B(un m==B(n+2m+1-2n)

同样考虑原子链无穷长，简谐近似，只考虑最近邻作用。 第n个元胞中的2个原子的运动方程是：

写出格波解: Be (qma-wt 代入方程得到: W2MA=BB(1+e-iga)-2BA 2mB=BA(1+c2)-2B

写出格波解： 代入方程得到：

该方程要有解,则系数行列式为0 2B-Mu2-6(1+e- B(1+c)2B m =Mm-2(M+m)2+42sin2=0 得到 m+M 4mM 1土1 sIn -ga mM (m+M)2 把频率代入运动方程,得到轻重原子的振幅之比和复相位: B M 26 士 4 B(1+e-

该方程要有解，则系数行列式为0 得到： 把频率代入运动方程，得到轻重原子的振幅之比和复相位：

声学波和光学波 维双原子链得到了两个解,两种色散关系,它们都是q的周期函 数,和一维单原子相同的讨论可知,q取值范围也在第一布里渊区。 同样画出色散关系(同一个q对应两个不同的频率): 2 同样满足周期性: 4(012mh )=±(q+Kh)

同样画出色散关系（同一个q对应两个不同的频率）： 同样满足周期性： 二、声学波和光学波 一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是q的周期函 数，和一维单原子相同的讨论可知，q 取值范围也在第一布里渊区

q限制在第一布里渊区: q 2 对于-的一支,当q=0时候,mimn=0 处于布里渊区边界9=±a时:m=VM 我们把c_这一支称为声学支

q限制在第一布里渊区： 对于 的一支，当 q=0 时候， 处于布里渊区边界 时： 我们把 这一支称为声学支

被称为声学支的原因 -(q→>0 2(M+m) ag= cq B—A ≈1 2 群速度等于相速度,且与频率无关,表现为长波长弹性波,而纵波弹性 波与声波是等同的。 此时长声学波的轻重原子的振幅和相位相同,它表示元胞质心的运动。 (两个原子的整体振动,无相对振动)

被称为声学支的原因： 群速度等于相速度，且与频率无关，表现为长波长弹性波，而纵波弹性 波与声波是等同的。 此时长声学波的轻重原子的振幅和相位相同，它表示元胞质心的运动。 （两个原子的整体振动，无相对振动）

y √器 0 而对于ω+这一支,当q0时,频率取极大值: 26 M m aX m+M 当q=±时,频率取极小值: + min

而对于 这一支，当 q=0 时，频率取极大值： 当 时，频率取极小值：

我们把这一支称为光学支 当q趋近0时 B M2-28M 26 当q趋近0时,频率由力常数和折合质量决定,这个频率恰好位于电磁波 频谱的远红外区域 同时,轻重原子的振动方向相反,即两者相对运动,而质心保持不动。 2、MA+mB M+m 在离子晶体中,这种正负离子的相对运动,引起极化,将与远红外电磁 波强烈地耦合

我们把这一支称为光学支 当q趋近0时 当q趋近0时，频率由力常数和折合质量决定，这个频率恰好位于电磁波 频谱的远红外区域。 同时，轻重原子的振动方向相反，即两者相对运动，而质心保持不动。 在离子晶体中，这种正负离子的相对运动，引起极化，将与远红外电磁 波强烈地耦合

另外,考虑当q靠近布里渊区边界时《→x入 B B 4 此时,声学支表示只有重原子在振动,而轻原子几乎不动,振动频 率只与M相关。 光学支表示只有轻原子在振动,重原子保持不动,频率只与m相关

另外，考虑当q靠近布里渊区边界时 此时， 声学支表示只有重原子在振动 ，而轻原子几乎不动，振动频 率只与M相关。 光学支表示只有轻原子在振动 ，重原子保持不动，频率只与m相关