复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）高等数学A试题（下-2017）

复旦大学数学科学学院 2016~2017学年第二学期期末考试试卷 A卷(共6页) 课程名称:高等数学A(下) 课程代码:MATH20022 开课院系:数学科学学院 考试形式:团卷 题号 2 3 4 5 6 总分 得分 1.(本题共40分,每小题5分)计算下列各题 设z= arctan2,求z” 如 会(2)求曲面e-z+xy=3在点(210)处的切平面方程 1(3)求函数u=x2y2+z在点(,0)处的最大方向导数

1 复旦大学数学科学学院 2016～2017 学年第二学期期末考试试卷 A 卷(共 6 页) 数学科学学院 1. (本题共 40 分，每小题 5 分) 计算下列各题 (1) 设  arctan ，求  。 (2) 求曲面    3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程。 (3) 求函数   3 2 在点 (1,0,1) 处的最大方向导数。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

(4)求椭圆3x2+2xy+3y2=1的面积。 )计算∫4」d (6)计算xh+yhc+zhh,其中∑为x2+y2+2=1的外侧 (7)求方程y-3=x的通解

2 (4) 求椭圆 3 2 3 1 2 2    的面积。 (5) 计算   1 0 sin 。 (6) 计算     3 3 3 ，其中  为 1 2 2 2    的外侧。 (7) 求方程 3  2 2 的通解

(8)求幂级数∑ x2-1的收敛半径与收敛区间 a(-3)+2 12.(本题共10分)将f(x)=x2在[0,2x]上展开成 Fourier级数,并求其和函数S(x)。 13(本题共10分)求幂级数∑ x的和函数S(x) an(n+l)

3 (8) 求幂级数     1   2 1 ( 3) 2 的收敛半径与收敛区间。 2. (本题共 10 分) 将 2 ( )  在 [0,2 ] 上展开成 Fourier 级数，并求其和函数 ( ) 。 3. (本题共 10 分) 求幂级数   1 1 1 ( ) （ 的和函数 ( ) 。 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

4(本题共10分)求∫(y)d,其中D是由y=x2,y=x以及x=y所围成 的区域。 5.(本题共10分)证明不等式:当x≥1,y≥0时,ey+xhx-x-xy≥0

4 4. (本题共 10 分) 求  2 ( ) ，其中 是由 2  ， 2 4 1  以及 2 4 1  所围成 的区域。 5. (本题共 10 分) 证明不等式：当 1，  0 时，  ln    0

6(本题共10分)设z=f(x,y)在x2+y2≤1上有连续的偏导数,且在x2+y2=1上恒 为零,证明:(00圆y,其中DO)为圆环区域

5 6. (本题共 10 分) 设  ( , ) 在 1 2 2   上有连续的偏导数，且在 1 2 2   上恒 为零，证明：         ( ) ( , ) lim    2 2 0 2 -1 0 0 ， 其 中 ( ) 为圆环区域 1 2 2 2     。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

7.(本题共10分)设z=f(x,y)在R2上具有连续的二阶偏导数。证明 1)若z=f(xy)变量可分离,即存在连续可导函数o(x),v(y)使得 1(x,y)=(x)y(y),则z=(xy)满足:2=2 2)若z=(xy)>0,且满足0zB,则z=(xy)变量可分离

6 7. (本题共 10 分) 设  ( , ) 在 2 上具有连续的二阶偏导数。证明： 1) 若  ( , ) 变 量 可 分 离 ， 即 存 在 连 续 可 导 函 数 ( ) ，  ( ) 使 得 ( , ) ( ) ( ) ，则  ( , ) 满足         2 ； 2) 若  ( , )  0 ，且满足         2 ，则  ( , ) 变量可分离