复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）《高等数学（II）》试题（2012.6）

复旦大学数学科学学院 2011~2012学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称: 高等数学A(下) 课程代码:MATH20002 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名 学号 专业 题号 6 7 总分 得分 (本题满分42分,每小题7分)计算下列各题 (1)设z= 求d 装订线内不要答题 (2)求曲线(2x+y+1)2+(x+2y+3)2=1所围有界区域的面积

1 复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 42 分，每小题 7 分）计算下列各题： （1）设 4 x y x y z    ，求 dz 。 （2）求曲线 (2 1) ( 2 3) 1 2 2 x  y   x  y   所围有界区域的面积。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

(3)计算三重积分亦(x2+y)h,其中9为抛物面==x2+y2与平面=h (h>0)所围的有界闭区域 (4)计算第一类曲面积分』y3ds,其中是球面x2+y2+=2=a2(a>0)

2 （3）计算三重积分   (x  y )dxdydz 2 2 ，其中  为抛物面 2 2 z  x  y 与平面 z  h （ h  0 )所围的有界闭区域。 （4）计算第一类曲面积分   y dS 2 ，其中  是球面 2 2 2 2 x  y  z  a （ a  0 )

(5)求幂级数∑+x的和函数。 dy (6)求微分方样ay=xy(x>0,y>0)的通解

3 （5）求幂级数     1 ! 1 n n x n n 的和函数。 （6）求微分方程 y x y dx x dy   4 （ x  0， y  0 ）的通解

2.(本题满分8分)求函数f(x,y,2)=x2+y2+2在条件ax+by+c=1下的最小 值,其中a,b,c为常数。 3.(本题满分10分)确定常数λ,使得右半平面{(x,y)|x>0}上的向量值函数 r(x,y)=2x(x4+y2)2i-x2(x4+y2)2j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求v(x,y)

4 2．（本题满分 8 分）求函数 2 2 2 f (x, y,z)  x  y  z 在条件 ax  by  cz 1 下的最小 值，其中 a ，b ，c 为常数。 3．（本题满分 10 分）确定常数  ，使得右半平面 {(x, y) | x  0} 上的向量值函数 r i  ( , ) 2 ( ) 4 2 x y  xy x  y j  ( ) 2 4 2  x x  y 为某二元函数 u(x, y) 的梯度，并求 u(x, y)

4.(本题满分10分)计算第二类曲面积分(1-x)0小+8 oder-4xohy,其 中∑是由Ox平面上的曲线x=e(0≤y≤1)绕x轴旋转一周而成的旋转曲面, 且该曲面的法向量与x轴正向的夹角不小于z。 d-y dy 5.(本题满分10分)设y(x)是定解问题d 的解(n=2,3,…) (1)=0,y(1) (1)求yn(x)(n=2,3…);(2)问级数∑yn(0)lhn是否收敛?请说明理由

5 4．（本题满分 10 分）计算第二类曲面积分   2(1 x )dydz  8xydzdx  4zxdxdy 2 ，其 中  是由 Oxy 平面上的曲线 2 y x  e （ 0  y 1 ）绕 x 轴旋转一周而成的旋转曲面， 且该曲面的法向量与 x 轴正向的夹角不小于 2  。 5．（本题满分 10 分）设 y (x) n 是定解问题            (1) 0, (1) 0 , 1 2 2 y y x dx dy n dx d y x n 的解（ n  2, 3,  ）。 （1）求 y (x) n （ n  2, 3,  ）；（2）问级数   2 (0)ln n yn n 是否收敛？请说明理由

6.(本题满分12分)设0<<z。(1)求函数f(x)= 的Fou 0,q<xk≤丌 级数:(2)求级数∑12及∑的和

6 6．（本题满分 12 分）设 0    。（1）求函数           0, | | 1, | | , ( ) x x f x 的 Fourier 级数；（2）求级数   1 sin 2 n n n 及   1 2 2 sin n n n 的和

7.(本题满分8分)已知曲面∑1:R=x2+y2+R2和Σ2:Rz=x2+y2(R>0) 证明:∑1上任一点处的切平面与曲面∑2所围立体的体积与该点的位置无关

7 7．（本题满分 8 分）已知曲面 1 ： 2 2 2 Rz  x  y  R 和 2 ： 2 2 Rz  x  y （ R  0 )。 证明： 1 上任一点处的切平面与曲面 2 所围立体的体积与该点的位置无关