复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）《高等数学（II）》试题（2009.7）

复旦大学数学科学学院 2008~2009学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(下) 课程代码:MATH12002 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业 题号1 2 4 6 分 得分 (本题满分48分,每小题8分)计算下列各题 (1)设z= arctan xt y,求, 装订线内不要答题 (2)计算二重积分 xy-dxdy,其中D是由半圆周x2+y2=4(x≥0)与y轴所 围闭区域

1 复旦大学数学科学学院 2008～2009 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 48 分，每小题 8 分）计算下列各题： （1）设 xy x y z    1 arctan ，求 x z   ， x y z    2 。 （2）计算二重积分  D xy dxdy 2 ，其中 D 是由半圆周 4 2 2 x  y  （ x  0 ）与 y 轴所 围闭区域。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

3计算曲线积分(++(x=y,其中L是曲线{2+(+从点到 点(4,2)的一段。 (4)计算曲面积分∫(x+y+=,其中∑为锥面=√x2+y被柱面 x2+y2=2ax(a>0)所截的有界部分

2 （3）计算曲线积分 x y dx x y dy L (  )  (  )  ，其中 L 是曲线          1 2 1, 2 2 y t x t t 从点 (1, 1) 到 点 (4, 2) 的一段。 （ 4 ） 计 算 曲 面 积 分   (xy  yz  zx)dS ，其中  为锥面 2 2 z  x  y 被 柱 面 x y 2ax 2 2   （ a  0 ）所截的有界部分

(5)求幂级数∑(-1)=x"的收敛域。 y tan (6)解定解问题 dxx y(1) 6

3 （5）求幂级数 n n n n x n     1 2 ( 1) 的收敛域。 （6）解定解问题           6 (1) tan ,  y x y x y dx dy

2.(本题满分10分)求曲面x2+2y2+3=2=21平行于平面x+4y+6z=0的切平 面的方程。 3.(本题满分8分)已知抛物面z=x2+y2与平面x+y+z=1交成一个椭圆,求原 点到这个椭圆的最长距离和最短距离

4 2．（本题满分 10 分）求曲面 2 3 21 2 2 2 x  y  z  平行于平面 x  4y  6z  0 的切平 面的方程。 3．（本题满分 8 分）已知抛物面 2 2 z  x  y 与平面 x y  z 1 交成一个椭圆，求原 点到这个椭圆的最长距离和最短距离

4.(本题满分8分)计算曲面积分=2xdd+x2yddx+(y2z+3)dxdy,其中Σ为 半球面z=√4-x2-y2的上侧 5.(本题满分8分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶连续导数,f(O)=1, f(1/2)=c.试确定f(x),使得在全平面上曲线积分(x)+6/(o小+r(x)y 与积分路径无关

5 4．（本题满分 8 分）计算曲面积分   z xdydz x ydzdx (y z  3)dxdy 2 2 2 ，其中  为 半球面 2 2 z  4  x  y 的上侧。 5．（本题满分 8 分）已知函数 f (x) 在 (,  ) 上具有二阶连续导数， f (0) 1， 1 (1/ 2)  f  e 。试确定 f (x) ，使得在全平面上曲线积分        L f (x) 6 f (x) ydx f (x)dy 与积分路径无关

6.(本题满分10分)(1)将f(x)=x2(-≤x≤)展开为 Fourier级数 (2)设g是以2为周期的连续函数,其 Fourier级数为 snx+ sin nx。 记F(x)=⊥r8g(x-)dt,求函数F的 Fourier级数

6 6．（本题满分 10 分）（1）将 2 f (x)  x （  x   ）展开为 Fourier 级数； （2）设 g 是以 2 为周期的连续函数，其 Fourier 级数为             1 2 sin 4 1 cos 2 ( 1) 2 3 ( ) ~ n n nx n nx n g x  。 记        F x t g(x t)dt 1 ( ) 2 ，求函数 F 的 Fourier 级数

7.(本题满分8分)求幂级数 的和函数,并求级数 的和 n=0(2n)!

7 7．（本题满分 8 分）求幂级数   0 (2 )! n n n x 的和函数，并求级数   0 (2 )! 1 n n 的和