《电磁学》第五章 稳恒磁场（5.5）带电粒子在磁场中的运动

§5带电粒子在磁场中的运动 引言 我们已知磁场对电流施力作用,而带电粒子以速度ν运动时相当于电流,故运动带 电粒子在磁场B中要受力而运动,此力称为洛仑兹力 、 Lorent' s Force q设一带电q(含正、负号)的粒子以速度下在磁场B中运动,实验证明它受力为 F=qv×B 其大小为F=qvBs(,B),其方向垂直于节,B所决定的平面,由v×B确定,如图5-34。 正电荷 负电荷 图5-34 [讨论] 1、F⊥v,故Fv=0,表明磁力F对运动电荷q不做功。F为侧向力(类似于曲线运 动提供向心力者,它只改变q之运动方向,不改变同或动能 2、若空间E,B并存,则:F=q(E+xB)。 3、由F=q×B也可定义B,方法同前用dF=l×B定义。 4、选速器原理:电子束中电子速度ν大小不一,选择某一速率的电子。让电子束垂 直穿过EB(正交)共存区,直进者选出,其余删掉,且选出的粒子速率满足v=EB 分析如图5-35。带负电的电子以初速进入E,B共存区

5－5－1 §5 带电粒子在磁场中的运动 引言： 我们已知磁场对电流施力作用，而带电粒子以速度 v  运动时相当于电流，故运动带 电粒子在磁场 B  中要受力而运动，此力称为洛仑兹力。 一、 Lorentz  s Force q 设一带电 q （含正、负号）的粒子以速度 v  在磁场 B  中运动，实验证明它受力为： F qv B    =  其大小为 F qvBsin( v,B)   = ,其方向垂直于 v B   , 所决定的平面，由 v B    确定，如图 5-34。 图 5-34 [讨论] 1、F ⊥ v, F  v = 0     故 ，表明磁力 F  对运动电荷 q 不做功。 F  为侧向力（类似于曲线运 动提供向心力者），它只改变 q 之运动方向，不改变 v  或动能。 2、若空间 E B   , 并存，则： F q(E v B)     = +  。 3、由 F qv B    =  也可定义 B  ，方法同前用 dF Idl B    =  定义。 4、选速器原理：电子束中电子速度 v 大小不一，选择某一速率的电子。让电子束垂 直穿过 E B   , （正交）共存区，直进者选出，其余删掉，且选出的粒子速率满足 B v = E ， 分析如图 5-35。带负电的电子以初速进入 E B   , 共存区 B  F  +q F  B  -q θ )θ 正电荷 负电荷    

Fr=F E=evB V= 与e,m无关 高压 FE ⑧ 低压 图5-35 、洛仑兹力与安培力的关系 安培力:dF=Md×B 洛仑兹力:F=φ×B 形式上相似,反映内在有联系(相当性:φ台ll)。 载流导体内有大量定向运动电荷(电子),磁场对运动电荷的洛仑兹力是磁场对载 流导体安培力的根本起因(教材中:安培力是作用在各自由电子上洛仑兹力的宏观表 现)。下面从微观角度进行考察: 如图5-36(a),一段长为L,载流为Ⅰ、截面为S的导线,电子定向漂移速度,电 子数密度为n,处于均匀磁场B中(不考虑热运动) J=pu=neu 如图5-36(b),F一电子所受洛仑兹力,F一霍耳电场力,当F=-F1时,平衡 F驱使电子侧向运动,而F(相伴而生)阻止这种侧向运动无止境下去,平衡后,电 子仍以稳定的定向漂移形成I(j=E,此E为导体内的稳恒电场)

5－5－2 ∵ FE = FB ，F = 0  eE = evB ∴ B v = E 与 e,m 无关。 图 5-35 二、洛仑兹力与安培力的关系 安培力： dF Idl B    =  洛仑兹力： F qv B    =  形式上相似，反映内在有联系（相当性： qv Idl    ）。 载流导体内有大量定向运动电荷（电子），磁场对运动电荷的洛仑兹力是磁场对载 流导体安培力的根本起因（教材中：安培力是作用在各自由电子上洛仑兹力的宏观表 现）。下面从微观角度进行考察： 如图 5-36(a)，一段长为 L，载流为 I、截面为 S 的导线，电子定向漂移速度 u  ，电 子数密度为 n ，处于均匀磁场 B  中（不考虑热运动） j =  u = neu I = js = neus 如图 5-36(b)，FL   --电子所受洛仑兹力， FH  --霍耳电场力，当 FL FH    = − 时，平衡。 FL   驱使电子侧向运动，而 FH  （相伴而生）阻止这种侧向运动无止境下去，平衡后，电 子仍以稳定的 u  定向漂移形成 I（ j E   =  ，此 E  为导体内的稳恒电场）。 e υ 高压 低压 FE  FB 

B u 图5-36 因B为外场,载流子为导体所有,故F=-xB为外力 又电力F是施于载流子的,此力对导体而言为内力,其反作用力即为电子作用在 正离子构成的晶格骨架上。平衡时,Fn的反作用力在数值和方向上均与F一致,宏观 上它正是磁场作用在载流导体上的安培力: 对一段长d的导体,dF=(mhq)×B=-nsle×B t(个数×电量) d顺流向取,与反向 =la×B 即:d沿(-i)方向 此即安培力公式。 (-电流元) [说明 ①安培力是B对载流导线的作用,而洛仑兹力是B对运动电荷的作用力。 安培力是磁力,而洛仑兹力的宏观效果是电力的反作用力。 ③洛仑兹力不做功,而安培力一般要做功,似乎与安培力归根到底是洛仑兹力的 看法相矛盾。其实不然,安培力做功能量是源于电源,而合洛仑兹力不做功,即实际上 电子参与两种运动 其中v为导线在B中运动速度。以上讨论仅涉及有关的部分,全面论述详见教材P82

5－5－3 (a) (b) 图 5-36 因 B  为外场，载流子为导体所有，故 FL eu B     = −  为外力。 又电力 FH  是施于载流子的，此力对导体而言为内力，其反作用力即为电子作用在 正离子构成的晶格骨架上。平衡时， FH  的反作用力在数值和方向上均与 FL   一致，宏观 上它正是磁场作用在载流导体上的安培力： 对一段长 dl  的导体， dF ndvq u B nsdleu B      = ( )  = −  （个数  电量）    = nesudl  B dl  顺流向取，与 u  反向 Idl B   =  即： dl  沿（ u  − ）方向 此即安培力公式。 （ Idl  -----电流元） [说明] ① 安培力是 B  对载流导线的作用，而洛仑兹力是 B  对运动电荷的作用力。 ② 安培力是磁力，而洛仑兹力的宏观效果是电力的反作用力。 ③ 洛仑兹力不做功，而安培力一般要做功，似乎与安培力归根到底是洛仑兹力的 看法相矛盾。其实不然，安培力做功能量是源于电源，而合洛仑兹力不做功，即实际上 电子参与两种运动： V u v    = + 其中 v为导线在B中运动速度   。以上讨论仅涉及有关 u  的部分，全面论述详见教材 P482 。 B  I S u  l ' FL  FH  u  I ' FL  I u 

、带电粒子在均匀磁场中的运动 1、下⊥B时情形 如图5-37(a),带电粒子作圆周运动 B R≈p ∴T=2m=2m B 特征:周期T与R、v无关 B (a) 图5-37 2、普遍情形 带电粒子的速度v与B夹任意角度θ。如图5-37(b),可将v分解为 v=vsiO,提供向心力 vn=vcos,匀速 带电粒子作螺旋运动,如图5-37(c)所示 B 螺距为

5－5－4 三、带电粒子在均匀磁场中的运动 1、v B   ⊥ 时情形 如图 5-37(a)，带电粒子作圆周运动 ∵ qvB R mv = 2 Bq mv R = ∴ qB m v R T 2 2 = = 特征：周期 T 与 R 、v 无关。 (a) (b) (c) 图 5-37 2、普遍情形 带电粒子的速度 v  与 B  夹任意角度  。如图 5-37(b)，可将 v  分解为 v⊥ = v sin  ,提供向心力 v// = v cos ,匀速 带电粒子作螺旋运动，如图 5-37(c)所示 B v q m qB mv R sin  = =  ⊥ qB m T 2 = 螺距为   F  B  0 R q,m B  B      ⊥   R q h  //  )

h=vul= vcos.2rm 可见:周期T与⊥B时相同,仍与R、v无关;同时,只要荷质比相同的粒子,当 ν相同时,均有相同的螺距—-磁聚焦原理,调节B可改变h。 四、荷质比的测定 带电粒子的基本参量之一:荷质比旦,不同的带电粒子其产生机制及不同,如: 阴极射线一一真空放电管加电压后由阴极发射出的电子束; B射线一一放射性物质发出的带负电的β粒子流 a射线—a粒子源发出的带正电的H核,等等 此外,还有中子流、质子流等,粒子带电与否及正负可由磁场中的云室判别。 云室:见教材第426页,借助饱和水蒸气显示,如图5-38。 粒子源 ×○ × × 图5-3 质(磁)谱仪:见教材第430页,利用磁场偏转,照相底板上记录位置可推之m或 磁控管:见教材第432页图示。 1、测量q (1)汤姆孙方法 电子经过E,B并存区,选速v 撤E,在B中粒子圆偏 m1 R=

5－5－5 qB m h v T v   2 cos // = =  可见：周期 T 与 v B   ⊥ 时相同，仍与 R 、v 无关；同时，只要荷质比相同的粒子，当 // v 相同时，均有相同的螺距---磁聚焦原理，调节 B 可改变 h 。 四、荷质比的测定 带电粒子的基本参量之一：荷质比 m q ，不同的带电粒子其产生机制及 m q 不同，如： 阴极射线——真空放电管加电压后由阴极发射出的电子束；  射线——放射性物质发出的带负电的  粒子流；  射线—— 粒子源发出的带正电的 He 核，等等。 此外，还有中子流、质子流等，粒子带电与否及正负可由磁场中的云室判别。 云室：见教材第 426 页，借助饱和水蒸气显示, 如图 5-38。 图 5-38 质（磁）谱仪：见教材第 430 页，利用磁场偏转，照相底板上记录位置可推之 m 或 v。 磁控管：见教材第 432 页图示。 1、测量 m q (1) 汤姆孙方法 电子经过 E, B 并存区，选速 B E v = ；撤 E ，在 B 中粒子圆偏 eB mv R = 中性 粒子源 负 正

E m RB RB 测出E,B及确定R便可得C。 (2)磁聚焦法 给电子加速,由加压△U可知进入场的速度γ,调B聚焦,得。 2、总原则 电场加速,磁场控制方向。 五、回旋加速器 核心部分为:D形盒,如图5-39。 D形盒之间隙窄,两盒之间接交变电源,其间置粒子源;每盒内部的电场很弱。功 能为 D形盒隙间电场加速带电粒子, D形盒内磁控粒子运动方向一圆运动。 D形盒 俯视图:正离子 图5-39 工作机制:因带电粒子在B中运动,其周期T (在低速下)与v无关,故 每半圆用时不变;若电源交变频率与此同步,及时改变隙内E的方向,确保粒子在隙处 恒加速即可 带电粒子每次经过隙ν增大,但T不变,连续加速至尾引出

5－5－6 RB v m e = 2 RB E = 测出 E, B 及确定 R 便可得 m e 。 (2) 磁聚焦法 给电子加速，由加压 U 可知进入场的速度 v ，调 B 聚焦，得 m e 。 2、总原则 电场加速，磁场控制方向。 五、回旋加速器 核心部分为：D 形盒，如图 5-39。 D 形盒之间隙窄，两盒之间接交变电源，其间置粒子源；每盒内部的电场很弱。功 能为： D 形盒隙间电场加速带电粒子， D 形盒内磁控粒子运动方向----圆运动。 图 5-39 工作机制：因带电粒子在 B  中运动，其周期 qB m T 2 = （在低速下）与 v 无关，故 每半圆用时不变；若电源交变频率与此同步，及时改变隙内 E  的方向，确保粒子在隙处 恒加速即可。 带电粒子每次经过隙 v 增大，但 T 不变，连续加速至尾引出。 D 形盒 俯视图：正离子 B 

局限性一-受D形盒半径R及相对论效应限制,只宜给低能粒子加速。 六、霍耳效应 1、霍耳效应与霍耳电压 如图5-40,处于外场B中的载流体,侧向边有电压Ur B 其中K为霍耳系数 B b A A UAx≠0 导体板样品 图5-40 2、用洛仑兹力予以说明 设导体板内电子数密度为n,定向漂移速度为证,板截面s=bd,则 nmbd 另外,载流子所受洛仑兹力为quB;侧向形成稳恒电位差后,此载流子还受一与qLB 相平衡的霍耳电场力:q quB=g-ar b 解出

5－5－7 局限性----受 D 形盒半径 R 及相对论效应限制，只宜给低能粒子加速。 六、霍耳效应 1、霍耳效应与霍耳电压 如图 5-40，处于外场 B  中的载流体，侧向边有电压 UAA ： d IB U AA = K 其中 K 为霍耳系数 图 5-40 2、用洛仑兹力予以说明 设导体板内电子数密度为 n，定向漂移速度为 u  ，板截面 s = bd ，则 I = js =  u s = nqus = nqubd 即 nqbd I u = 另外，载流子所受洛仑兹力为 quB ；侧向形成稳恒电位差后，此载流子还受一与 quB 相平衡的霍耳电场力： b U q AA ， 有 b U quB q AA = 解出： UAA'  0 B  b I d V A ' A 导体板样品

B B6=( 可见,霍耳系数:K= A (a)正电荷导电(空穴型) (b)负电荷导电(电子型) 图5-41 霍耳效应与载流子电荷正负的关系 两侧电压U何处高,与导电载流子类型(正、负)有关,参照图5-41分析,这里 的知识可用于判断半导体类型(P、N) 本章内容小结 1、安培定律:dF124兀 012dl2×(1dl1x2) 安培力公式:dF=lll×B (1)定义B (2)计算磁场对电流作用力:L=m×B,m=Ⅰ。 3、毕奥—一萨伐尔定律:B40l×F 场方程:5B=05B:d=21 5、洛仑兹力:F=q×B

5－5－8 UAA = uBb d IB nq ) 1 = ( 可见，霍耳系数： nq K 1 = 。 (a)正电荷导电（空穴型） (b)负电荷导电（电子型） 图 5-41 3、霍耳效应与载流子电荷正负的关系 两侧电压 UAA 何处高,与导电载流子类型（正、负）有关，参照图 5-41 分析，这里 的知识可用于判断半导体类型（ P 、 N ）。 本章内容小结 1、安培定律： 2 12 0 2 2 1 1 12 12 ( ) 4 r I dl I dl r dF       =   2、安培力公式： dF Idl B    =  (1) 定义 B  ； (2) 计算磁场对电流作用力 ： L m B    =  , m I s   = 。 3、毕奥——萨伐尔定律：   = 2 0 4 r Idl r B      4、场方程：   =   =  L内 i s L B ds B dl I 0 0,      5、洛仑兹力： F qv B    =  I ' A I ' A L A F  FL  A

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