《电磁学》第三章 电介质（3.2）极化强度矢量

§2极化强度矢量 本节重点介绍极化的描述、介质的极化规律。 极化强度矢量P 不仅与每个分子的电矩p分的大小有关 介质极化程度 引入P—一极化强 而且还依赖于各p分的排列整齐程度 度矢量描述介质极化的程度和状态,定义为 ∑p △为介质中所取的物理小体元(可看作一个宏观点),其中包含大量分子。P的 物理意义即:介质中某点单位体积内所有分子电偶极矩之矢量和。 [讨论] (1)P是空间矢量点函数,介质中不同点一般P不同。 若P=常量,即不随空间变,则称介质均匀极化 =0可能的情况:真空中无介质分子、导体中E=0、介质未极化等。 (2)若介质均匀,则指E=常数,而一般地En=E,(x,y,=) (3)p的单位: (4)设介质内某点(x,y,z)附近单位体积内介质分子数为n(x,y,=),按统 计平均看,当作各分子P分大小相同且方向排列整齐,有 ∑D分 △ 分 极化电荷q 介质极化出现实际存在的电荷一一极化申荷,而P描述介质极化情况,故二 者必有联系。下面研究 1、以位移极化为例推导公式:∮P=∑q 介质内任取体积V,其周界面为S。如图3-7取体元:d= i ds cose,则 3-2-6

3－2－6 §2 极化强度矢量 本节重点介绍极化的描述、介质的极化规律。 一、极化强度矢量 P  介质极化程度 而且还依赖于各 的排列整齐程度 不仅与每个分子的电矩 的大小有关 分 分 p p   ，引入 P  ——极化强 度矢量描述介质极化的程度和状态，定义为 V p P V  =   分   V 为介质中所取的物理小体元（可看作一个宏观点），其中包含大量分子。 P  的 物理意义即：介质中某点单位体积内所有分子电偶极矩之矢量和。 [讨论] (1) P  是空间矢量点函数，介质中不同点一般 P  不同。 若 P = 常量  ，即不随空间变，则称介质均匀极化； P = 0  可能的情况：真空中无介质分子、导体中 E = 0  、介质未极化等。 (2) 若介质均匀，则指  r = 常数,而一般地 (x, y,z) r r  =  。 (3) P  的单位： 米2 库 。 (4) 设介质内某点 (x, y,z) 附近单位体积内介质分子数为 n (x, y,z) ，按统 计平均看，当作各分子 p分  大小相同且方向排列整齐，有 np nq l V V n p V p P x y z V      分 分 分 分 = =     =  =   ( , , ) 二、极化电荷 q  介质极化出现实际存在的电荷——极化电荷，而 P  描述介质极化情况，故二 者必有联系。下面研究 1、以位移极化为例推导公式：   = −  s s内 P ds q   介质内任取体积 V，其周界面为 S。如图 3-7 取体元： dV = l ds cos ，则

P分:=P分dsco(x-b)=-P分 ds cose d中介质分子极化后通过dS面元穿出电量为 d出=-9分nd=-1 qs lds cose 分dc0b=mp分d=Pds E 图3-7 根据电荷守恒定律,正电荷留于d内,故d内净电荷为 d g=-dq ds 对于整体V、S有 或写成常用形式 fP:d=∑ 上式表明:P矢量为有源场,其P线之源为负的极化电荷,也可写成 其中V为S所围,p为极化电荷体密度 若均匀极化,则P=常矢,有p'=0

3－2－7 p分 ds = p分dscos( −) = −p分dscos   dV 中介质分子极化后通过 dS 面元穿出电量为 dq出  = −q分ndV = −nq分lds cos np ds np ds P ds    = − 分 cos = 分  =  图 3-7 根据电荷守恒定律，正电荷留于 dV 内，故 dV 内净电荷为 dq dq P ds    = − 出  = −  对于整体 V、S 有    =  = −  s s q dq P ds   或写成常用形式   = −  s内 s P ds q   上式表明： P  矢量为有源场，其 P  线之源为负的极化电荷，也可写成：    = −  V s P ds  dV   其中 V 为 S 所围，  为极化电荷体密度。 若均匀极化，则 P =  常矢，有  = 0 。 E0  _ 内 S l   + ds  V 外

ds 面 图3-8 2、极化电荷面密度O 在介质表面上,因极化电荷不能穿出表面S,故相对集中面分布。表面电荷 厚度用斜高表示为:cos。取面元,如图3-8所示,此厚度上净电荷 dq=ngalcos0 ds=Pds=Pnds 所以 a′==p.n=P=Pcos ds 、退极化场E 介质处于外场E0中发生极化,出现极化电荷q(’,a),q在空间激发场E 退极化场,故介质中总场为 E=Eo+E 一般地,E随点而异,且E处处与E方向相反,但E<1,故E只能削弱 外场,而不能完全抵消外场(导体情况可以完全抵消外场),所以,介质中: <|E 极化过程描述如下:

3－2－8 图 3-8 2、极化电荷面密度  在介质表面上，因极化电荷不能穿出表面 S，故相对集中面分布。表面电荷 厚度用斜高 l 表示为： l cos 。取面元 dS ，如图 3-8 所示，此厚度上净电荷 dq nq l ds P ds P nds       = 分 cos =  =  所以  P n P Pcos ds dq =  = n =   =   三、退极化场 E  介质处于外场 E0  中发生极化，出现极化电荷 q ( , )，q  在空间激发场 E  ——退极化场，故介质中总场为 E = E + E    0 一般地， E  随点而异，且 E  处处与 E0  方向相反，但 E E0     ，故 E  只能削弱 外场，而不能完全抵消外场（导体情况可以完全抵消外场），所以，介质中： E E0    。 极化过程描述如下： E0  ds  S 界面  l  r  0 

E0→介质→极化→极化电荷_>E 可见,决定介质极化程度和状态的是介质中的总场E。 四、电介质的极化规律 介质中合场E=E0+E'决定极化强度P,P与E的关系如何即极化规律。不 同物质的P~E关系是不同的,需由实验确定 对于线性介质,P与E成正比,其极化规律为 P=5x1Ex+60x1B1+60x1E Pr=oX2Ex+Eox2Er+Eox23e Pi=EOX3Ex +EoX32Er +Eox33ez 表示成矩阵形式为 Px X11 X12 213E P|=s0x21x22x23 P 231 X32l 其中各系数x与场无关。 再若介质为各向同性的,则E∥P,有 0(i≠j) x=x(=1)为极化率 有 P,=FOXIE P,=E0x22E p2=E023E P=xE 值得指出:公式中的E为介质中总场。x与E无关,与介质种类有关,是介质

3－2－9  E0 → 介质 →极化 →极化电荷   ⎯⎯→E  0  可见，决定介质极化程度和状态的是介质中的总场 E  。 四、电介质的极化规律 介质中合场 E = E + E    0 决定极化强度 P  ，P  与 E  的关系如何即极化规律。不 同物质的 P  ～ E  关系是不同的，需由实验确定。 对于线性介质， P  与 E  成正比，其极化规律为      = + + = + + = + + Z X Y Z Y X Y Z X X Y Z P E E E P E E E P E E E 0 31 0 32 0 33 0 21 0 22 0 23 0 11 0 12 0 13                   表示成矩阵形式为               =             31 32 33 21 22 23 11 12 13 0           Z Y X P P P           Z Y X E E E 其中各系数  ij 与场无关。 再若介质为各向同性的，则 E P   // ，有     = = =  ( )为极化率 0 ( ) x x i j x i j ij e ij 有      = = = z z y y x x p E p E p E 0 33 0 22 0 11       即 p e E   =  0  值得指出：公式中的 E  为介质中总场。  e 与 E  无关，与介质种类有关，是介质 ______________________________

材料属性的反映,是一个纯数。x与E属同一类量,有表可查。如E与坐标 无关,则为均匀介质 五、例题 例1:试解释经丝绸摩擦过的玻璃棒可吸引轻小物体。 解答:玻璃棒经摩擦带有电荷,在空间产生非均匀电场E(x,υ,〓),轻小物 体为电介质,它在非均匀电场中极化而产生极化电荷,轻小物体所受的电场力指 向电场线较密的方向,所以它被吸引而向玻璃棒运动。 例2:均匀极化强度为P的介质球,其半径为R,求分布 解:因为介质球均匀极化,所以p′=0,极化电荷只能出现a’≠0。如图 9,有 a′=P.n=Pcos0 可以证明:球面电荷按谐和函数分布,在球内产生的电场为均匀场。例如,求0 处E′ 1 ads ∵dE cos0R- sin 0 de do 4TEo R- 4TEoR 图3-9 对称分析知:合场方向与P反向,即(-k)方向,且dE2=-dE'cosO E′ de cose=-k os2 esin e de de 4 4ts, L cos e de- 2ms-k:

3－2－10 材料属性的反映，是一个纯数。  e 与  r 属同一类量，有表可查。如  r 与坐标 无关，则为均匀介质。 五、例题 例 1：试解释经丝绸摩擦过的玻璃棒可吸引轻小物体。 解答：玻璃棒经摩擦带有电荷，在空间产生非均匀电场 E (x, y,z)  ，轻小物 体为电介质，它在非均匀电场中极化而产生极化电荷，轻小物体所受的电场力指 向电场线较密的方向，所以它被吸引而向玻璃棒运动。 例 2：均匀极化强度为 P  的介质球，其半径为 R ，求  分布。 解：因为介质球均匀极化，所以  = 0 ，极化电荷只能出现   0 。如图 3-9，有   = P  n = Pcos   可以证明：球面电荷按谐和函数分布，在球内产生的电场为均匀场。例如，求 O 处 E  ∵          R d d R P R ds dE cos sin 4 4 1 2 2 0 2 0 =    = 图 3-9 对称分析知：合场方向与 P  反向, 即（- k  ）方向，且 dEZ  = −dEcos     = −  = −        d d P E k dE k cos sin 4 cos 2 0     = −  = −         0 0 2 0 3 cos sin 2 4 P d k P k   。 P   n  0 ) Z

Eo 0 图3-10 例3、如图3-10平行板电容器,极板带自由电荷±σn,其内充满均匀介质, 极化率为x。,试求充满介质时的E、C、a与未充介质时的相应物理量E0、C0、 0的关系。(恒定Q) ①∵E0=°i ;∴E=E0+E'=-(a0-0),又 a′=P=P=0x。E,代入上式右端,并令E=1+x,有:E=二0。 σoSσo ed end ′d=60,其中En=°o ∵1(a-)=On,即E=2 (1--)σ 又

3－2－11 图 3-10 例 3、如图 3-10 平行板电容器，极板带自由电荷  0 ，其内充满均匀介质， 极化率为  e ，试求充满介质时的 E  、C 、 与未充介质时的相应物理量 E0  、C0 、  0 的关系。(恒定 Q) 解： ① ∵ E i   0 0 0   = 、 E i   0     = − ； ∴ E E E i     ( ) 1 0 0 0    = +  = −  ，又  = Pn = P =  0 eE ，代入上式右端，并令  r =1+ e ，有： r E E  0   = 。 ② 0 0 0 0 0 0 C d S E d S Ed S U S C r r  r       = = = = = ，其中 0 0 0   E = 。 ③ ∵ r       0 0 0 0 ( ) 1 −  = ，即 r E E  0 = ； ∴ 0 ) 1 (1    r  = − 。 又  r 1 ，故：    0  。  0 − 0 E0  E  E  x S 0 d + + + + + + + + － － － － － － － － － + + + + + + + + － － － － － － － － ' 