《电磁学》第五章 稳恒磁场（5.4）磁场对载流导线的作用

§4磁场对载流导线的作用 引入新课: 稳恒磁场的基本问题包含两方面的主要内容 (1)已知I分布,求B分布。 已学习两方法 ①Biot- Savar t' s Lav B=出0pxF (原则上) 2 Ampere's Circulation Theorem 5Bd=A∑1 (对称时) (2)已知B分布,求对I的作用。 综合概括为 正问题 逆问题 正问题在以上学习中已研究,现在进入逆问题,即:磁场对载流导线的作用。本节 内容的重点:安培力公式的应用。下面先进入第一点:考察安培力公式。 、安培力 承前内容,我们可将安培定律分成两个部分,写出公式为: dF=lodl×B 此力称为 Ampere' s Force,lodl0.为试探电流元 1、力的方向和大小 方向—一由叉积l×B确定,参见图5-23; 大小一dF=l0 dl. bsin e,其中的B不仅是已知I激发的,也可为外来场B 2、安培力的双重功甩 ①定义B;

5－4－1 §4 磁场对载流导线的作用 引入新课： 稳恒磁场的基本问题包含两方面的主要内容： (1) 已知 I 分布，求 B  分布。 已学习两方法： ① Biot − Sa vart s Law   = L r Idl r B 2 0 ˆ 4     （原则上） ② Ampere  s Circulation Theorem   =  ( ) 0 l内 i L B dl  I   （对称时） (2) 已知 B  分布，求对 I 的作用。 综合概括为： 正问题 I B  逆问题 正问题在以上学习中已研究，现在进入逆问题，即：磁场对载流导线的作用。本节 内容的重点：安培力公式的应用。下面先进入第一点：考察安培力公式。 一、安培力 承前内容，我们可将安培定律分成两个部分，写出公式为： dF I dl B    = 0 0  此力称为 Ampere  s Force， 0 0 I dl  为试探电流元。 1、力的方向和大小 方向——由叉积 I dl B   0 0  确定，参见图 5-23； 大小—— dF = I 0dl0Bsin  ，其中的 B  不仅是已知 I 激发的，也可为外来场 B外  。 2、安培力的双重功用 ① 定义 B  ；

②可用于计算磁力,以下基于此而展开 为运用方便,式中的足标“o”可不写,常用形式为:F=「d×B,B不含的 贡献。 d F 图 安培力公式的应用 1、平行载流直导线间的相互作用及安培的定义 首先,计算导线1→2作用F12。如图5-24所示 B 011 F12=1L.B2=42L 其次,同理计算导线21作用F21 1=地hl2 L=Fr 表明 -F2,相互吸引。 (注一以上计算是一根对另一根上L一段长的作用)。 [讨论] (1)当L与L2反向时,仍有 F12=F1=42L 但为斥力。 (2)因为F2=F21∝L,单位长上受力为

5－4－2 ② 可用于计算磁力，以下基于此而展开。 为运用方便，式中的足标“o” 可不写，常用形式为：  F = Idl  B    ，B  不含 Idl  的 贡献。 图 5-23 图 5-24 二、安培力公式的应用 1、平行载流直导线间的相互作用及安培的定义 首先，计算导线 1 → 2 作用 F12  。如图 5-24 所示, ∵ a I B   2 0 1 12 = ∴ L a I I F I L B   2 0 1 2 12 = 2  12 = 其次，同理计算导线 2 → 1 作用 F21  ： ∴ L F L a I I F = = 12  0 1 2 21 2  表明： F12 F21   = − ，相互吸引。 （注---以上计算是一根对另一根上 L 一段长的作用）。 [讨论] (1) 当 1 I 与 2 I 反向时，仍有 L a I I F F   2 0 1 2 12 = 21 = 但为斥力。 (2) 因为 F12 = F21  L ，单位长上受力为 θ B  d F  0 0 I dl  1 a 2 I1 I2 L F21  F12 

F2l uol I2 LL ·若取l1=l2=1,则∫= V2×10 若取a=lm,测得2×10-N,则此时=1A 综合以上,可给出电流强度Ⅰ的单位一—“安培”定义如下 载有相同强度电流、相距为1米的两平行长直导线,若每米长度上受力为: 2×10-7牛,则每根导线上所载电流的强度为1安培。 2、匀强磁场对平面载流回路的作用 已知B分布在空间上均匀,研究平面载流回路所受力F、力矩L及运动。 (1)刚性矩形回路 如图5-25(a),平面载流回路处在匀强磁场中。图5-25(b)为其俯视图。 b 1 F 图5-25 ①已知:载流Ⅰ,回路宽a、高b,轴线与B垂直,外场B均匀。不失一般性, 设框平面与B非正交,其法矢与B夹b角 ②研究:线圈受力、运动情况

5－4－3 a I I L F L F f   2 12 21 0 1 2 = = = • I = I = I 若取 1 2 ， a I f   2 2 0 则 = ，即 A af af I 7 0 2 10 2 −  = =   • 若取 a =1m， N 7 2 10− 测得  ，则此时I = 1A。 综合以上，可给出电流强度 I 的单位——“安培”定义如下： 载有相同强度电流、相距为 1 米的两平行长直导线，若每米长度上受力为： 210−7牛 ，则每根导线上所载电流的强度为 1 安培。 2、匀强磁场对平面载流回路的作用 已知 B  分布在空间上均匀，研究平面载流回路所受力 F  、力矩 L  及运动。 (1) 刚性矩形回路 如图 5-25(a)，平面载流回路处在匀强磁场中。图 5-25 (b)为其俯视图。 (a) (b) 图 5-25 ①已知：载流 I ，回路宽 a 、高 b，轴线与 B  垂直，外场 B  均匀。不失一般性， 设框平面与 B  非正交，其法矢与 B  夹  角。 ②研究：线圈受力、运动情况。 θ B  n  F3  a/2 F4  a 2 b 1 4 I θ B  n  3

首先,规定载流回路所围面积法矢n一右手定则,则有向面积:S=ab。 [分析受力 上、下边:如图5-26。F2= labin(90+0)、F4= labin(900-0) F2与F4二力等大反向,且共线,即:F2+F4=0,对刚性框不产生运 动学效应。 0°0 B 90°+0 l2 图5- 左、右边:见俯视图。F3=F4=bB,二力等大反向,但不共线—力偶,产生力 偶矩一磁力矩: L=2.F3 labbsin 0= /SBsin e mosin e=×B 式中m=Ⅰ§=Ⅰs为载流线圈的磁偶极矩(磁矩)。考虑到方向性(与 F×F一致),写成矢量式为: L=m×B [分析运动] 均匀场B中,矩形线圈所受合力∑F=0—不平动、合力矩∑L=xB一发 生转动。转动趋势为:使或m)转向B方向,即Φn取最大的方位;O=0,丌分别为稳定 非稳定平衡。 (2)任意形状平面载流回路 在均匀B中,任意形状平面载流回路,如图5-27。受力和运动情况又如何呢?这是

5－4－4 首先，规定载流回路所围面积法矢 n  --右手定则，则有向面积： S abn   = 。 [分析受力] 上、下边：如图 5-26。 sin( 90 ) 0 F2 = IaB + 、 sin( 90 ) 0 F4 = IaB − ； F2与F4 二力等大反向，且共线，即： F2 + F4 = 0   ，对刚性框不产生运 动学效应。 图 5-26 左、右边：见俯视图。 F3 = F4 = IbB ，二力等大反向，但不共线---力偶，产生力 偶矩—磁力矩： cos(90 ) 2 2 0 =  3 − a L F = IabBsin = ISBsin mB m B   = sin  =  式中 m I s Isn    = = 为载流线圈的磁偶极矩（磁矩）。考虑到方向性（与 r F    一致），写成矢量式为： L m B    =  [分析运动] 均匀场 B  中，矩形线圈所受合力 Fi = 0  ——不平动、合力矩 Li m B     =  ——发 生转动。转动趋势为：使 n( m)   或 转向 B  方向，即 m 取最大的方位；  = 0, 分别为稳定、 非稳定平衡。 (2) 任意形状平面载流回路 在均匀 B  中，任意形状平面载流回路，如图 5-27。受力和运动情况又如何呢？这是 90º+θ B  Id 2 l  90º-θ B  Id 4 l  F2  F4 

上述内容的推广。 图5-27 处理问题的思想和方法:将整体划分成许多小矩形,每一载流与原回路同,则相邻 小矩形邻边上Ⅰ反向,划分愈细致,每一小矩形竖边愈贴近原回路曲边,这许多小矩形 在外部的集体磁效应同原问题。注意划分时,使窄形小矩形长边垂直轴线 每一元矩形在外场B中的行为均为已知:∑F=0、亚=cmxB=AxB =ldsn×B。故整体所受 合力:F=0——不平动 合力矩:L==小项xB=历×d=6xB=历xB,其中m=厉为 总磁矩,规律同前。一一发生转动。 [结论] 任意形状平面载流回路在均匀场B中受合力、合力矩为 =0.L=m×B 整体不发生平动,但转动,L使转向B的方向 [讨论] (1)关于B的定义方法 B的定义比E的定义复杂,纵观国、内外现行教材有三种定义方法,其公式为 CF=l×B L=m× F=q×B(见以后: Lorentz's Force)

5－4－5 上述内容的推广。 图 5-27 处理问题的思想和方法：将整体划分成许多小矩形，每一载流与原回路同，则相邻 小矩形邻边上 I 反向，划分愈细致，每一小矩形竖边愈贴近原回路曲边，这许多小矩形 在外部的集体磁效应同原问题。注意划分时，使窄形小矩形长边垂直轴线。 每 一 元 矩 形在 外 场 B  中 的 行 为均 为 已知 ：  = 0 i Fi  、 dL dm B    =  Ids B   =  Idsn B   =  。故整体所受 合力： F = 0  ——不平动 ； 合力矩：    L = dL = I n  B ds = In  B ds       ( ) Is B m B     =  =  ，其中  m = In ds   为 总磁矩，规律同前。——发生转动。 [结论] 任意形状平面载流回路在均匀场 B  中受合力、合力矩为 F L m B     = 0, =  整体不发生平动，但转动， L  使 m  转向 B  的方向。 [讨论] (1) 关于 B  的定义方法 B  的定义比 E  的定义复杂，纵观国、内外现行教材有三种定义方法，其公式为 dF Idl B    =  L m B    =  F qv B    =  （见以后: Lorentz  s Force ） I I

三种方法定义B等效。 (2)均匀场B中,若线圈非平面呢? 感兴趣(或学有余力)者可参阅:《大学物理》,1990,9,P28 (3)均匀磁场B中的m与均匀电场E中的P比较 特征量 =5 模型 q m 抽象 力矩 =m×B L=P×E 与外场的互能 W.=-m×B W=-P·E(见图5-28 能量为负仅表明能量相对高低。 B 参考0 参考0 图5-28 从能量角度看(如图5-29): θ=0,能量最低,稳定平衡 θ=丌,能量最高,非稳定平衡, 原子物理中: Zeeman' s Effect用到。 B 图5-29 5-4-6

5－4－6 三种方法定义 B  等效。 (2) 均匀场 B  中，若线圈非平面呢？ 感兴趣（或学有余力）者可参阅：《大学物理》，1990，9, P28。 (3) 均匀磁场 B  中的 m  与均匀电场 E  中的 P  比较: 特征量 m Is   = P ql   = 模型 抽象 力矩 Lm m B    =  Le P E    =  与外场的互能 Wm m B   = −  We P E   = −  （见图 5-28）。 能量为负仅表明能量相对高低。 图 5-28 • 从能量角度看（如图 5-29）：  = 0 ，能量最低，稳定平衡；  = ，能量最高，非稳定平衡。 原子物理中： Zeeman  s Effect 用到。 θ B  m  参考 0 参考 0 θ E  p  m  m  B  B  图 5-29 s  I l  -q +q m  p 

直流电动机和电流计原理 (1)直流电动机转动原理 直流电动机转动是上述原理的直接应用。直流电源通入线圈,在永磁体间场B作 用下受力矩定轴转动,如图5-30所示 欲连续运行,则需换向器:中性面、惯性、换向器 欲增大功率(电能→机械能)、稳定,则需线圈→电枢(换向器、电刷等)。 应用:可调速(改变U即实现);大到电动机车、小到儿童电动玩具之动力 电刷 图5-30 (2)磁电式电流计原理 先介绍一一构成、各部位功能,尤其是磁场特别,线圈N匝:a×b。如图5-31, 两边永磁体N、S极,中心铁芯圆柱体,其间B轴向辐射状,对线圈定 轴转动而言,处处同大。此外,游丝、线圈、指针 再介绍—一原理:被测电流Ⅰ通入线圈,在磁场中产生转动(在电磁驱动力矩作用 下),而游丝产生反力矩。当此二力矩平衡时,指针稳定示值, 偏转角θ与被测Ⅰ成正比,通过指针示值显示测量。 定量推导:L磁=NbB·a=NSB… …驱动力矩; D …………反力矩(扭转系数D)。 当二力矩平衡时,有NSB=D,得 MSB 表头灵敏度。可见,∝,呈线性关系,刻度盘均匀刻度

5－4－7 3、直流电动机和电流计原理 (1) 直流电动机转动原理 直流电动机转动是上述原理的直接应用。直流电源通入线圈，在永磁体间场 B  作 用下受力矩定轴转动，如图 5-30 所示。 欲连续运行，则需换向器：中性面、惯性、换向器。 欲增大功率（ 电能 → 机械能 ）、稳定，则需 线圈→电枢 （换向器、电刷等）。 应用：可调速（改变 U 即实现）；大到电动机车、小到儿童电动玩具之动力。 图 5-30 （2）磁电式电流计原理 先介绍——构成、各部位功能，尤其是磁场特别，线圈 N 匝： ab 。如图 5-31， 两边永磁体 N、S 极，中心铁芯圆柱体，其间 B  轴向辐射状，对线圈定 轴转动而言，处处同大。此外，游丝、线圈、指针。 再介绍——原理：被测电流 I 通入线圈,在磁场中产生转动（在电磁驱动力矩作用 下），而游丝产生反力矩。当此二力矩平衡时，指针稳定示值， 偏转角  与被测 I 成正比, 通过指针示值显示测量。 定量推导： L磁 = NIbB a = NISB……………驱动力矩； L弹 = −D …………………………反力矩（扭转系数 D）。 当二力矩平衡时，有 NISB = D ，得 I D NSB        = D NSB ——表头灵敏度。可见，   I ，呈线性关系，刻度盘均匀刻度。 n  )θ B  N S 电刷

线圈 永磁体 游丝 (产生反力矩) 铁芯圆柱体 N匝 b 轴 图5-31 三、知识扩展 1、非均匀磁场B中的平面载流线圈。 由于线圈各部分所在处B不同,一般地∑F≠0、L=∑L≠0,故线圈作复合运 动(平动+转动),结果为 平动的结果:使线圈整体向强场区移动,使Φ。尽量取大; 转动的结果:使m转向B。 例:如图5-32,载流直导线的磁场中放置矩形载流回路,研究回路的运动情况。 (a)共面(平动) (b)非共面(平动+转动) 图5-32

5－4－8 图 5-31 三、知识扩展 1、非均匀磁场 B  中的平面载流线圈。 由于线圈各部分所在处 B  不同，一般地   0 i Fi  、 =   0 i L Li   ，故线圈作复合运 动（平动 + 转动），结果为 平动的结果：使线圈整体向强场区移动，使 m 尽量取大； 转动的结果：使 m  转向 B  。 例：如图 5-32，载流直导线的磁场中放置矩形载流回路，研究回路的运动情况。 (a)共面（平动） (b)非共面（平动 + 转动） 图 5-32 N S N S 永磁体 示值 线圈 游丝 （产生反力矩） 铁芯圆柱体 N 匝 a b 轴 F  ω F   I2 I1 1 B  m  a I2 b I1 r

[注]教材中有非均匀场习题,有必要介绍。 部分演示实验的设计思想 (1)简易直流电动机模型 投影片:介绍曾在院科技周上物理系获奖作品(突出换向器变易) (2)单机电动机 投影片:螺旋线圈印刷板,单个电源,转动分析,只作简单定性启发式分 析,详见: Am. . phys.vo1381970,p.273 (3)实用例补充(机动) ①大电流断路器:线圈产生B吹断断路电弧 ②控制通信卫星空中姿态(和高度):地磁场中,卫星上线圈的m受作用发 生平动、转动,使之调整天线对准目标。 四、计算示例 1、均匀B中圆载流Ⅰ线圈,半径R,求半圆受力。 解:设磁场方向垂直纸面向里,建立坐标系如图5-33(a),作对称分析,所受合力 X沿X轴正向。 dF= Rde. B dF =dF. cos(90-0)=IRB sin 0 d F=F=dF: =IRB sin e d0=2IRB /dF R F X dF 图5-33

5－4－9 [注] 教材中有非均匀场习题，有必要介绍。 2、部分演示实验的设计思想 （1）简易直流电动机模型 投影片：介绍曾在院科技周上物理系获奖作品（突出换向器变易）。 （2）单机电动机 投影片：螺旋线圈印刷板，单个电源，转动分析，只作简单定性启发式分 析，详见: Am.J.phys.vol.38,1970, pp.1273. （3）实用例补充（机动） ①大电流断路器：线圈产生 B  吹断断路电弧。 ②控制通信卫星空中姿态（和高度）：地磁场中，卫星上线圈的 m  受作用发 生平动、转动，使之调整天线对准目标。 四、计算示例 1、均匀 B  中圆载流 I 线圈，半径 R ，求半圆受力。 解：设磁场方向垂直纸面向里，建立坐标系如图 5-33(a)，作对称分析，所受合力 X 沿 X 轴正向。 dF = IRd  B dFx dF cos(90 ) IRBsin  d 0 =  − = ∴ F Fx dFx IRB sin d 2IRB 0 = = = =      (a) (b) 图 5-33 a R θ O b I X d F  Id l  d F  B + A － d F 

[讨论] (1)此结果相当于长2R,载流I的一段导线在B中受力 (2)若Ⅰ反向,则整体线圈有向内收缩趋势。请看一趣味题: 投影片——美国教材一题:某大学生一天做了一个噩梦,说他因作弊被判死刑,被 放在一竖直向上的磁场中,在其脖子上绕上一圈导线,在临刑前该生自己提出一个要求 让其自己亲自将导线的两端(如A、B)接至电源的正、负极。接线前,该生惊恐万分, 不知怎样接线为好。一——一梦醒来,此人淋漓大汗! 如图5-33(b)所示,请同学们帮他接线,怎样才能使他免于一死 2、电子绕原子核轨道运行,求在外场中所受力矩和附加能量。 解: s e0 I 在外场B中,有 L=历xB=2 ,n方向:⑧ eo I B 2万.B,(附加能量) 小结 主体内容围绕安培力公式dF=M×B展开,主要是应用。途径为:安培力公式→ 应用(3例)→扩展→示例

5－4－10 [讨论] (1) 此结果相当于长 2R，载流 I 的一段导线在 B  中受力； (2) 若 I 反向，则整体线圈有向内收缩趋势。请看一趣味题： 投影片----美国教材一题：某大学生一天做了一个噩梦，说他因作弊被判死刑，被 放在一竖直向上的磁场中，在其脖子上绕上一圈导线，在临刑前该生自己提出一个要求， 让其自己亲自将导线的两端（如 A、B）接至电源的正、负极。接线前，该生惊恐万分， 不知怎样接线为好。———一梦醒来，此人淋漓大汗！ 如图 5-33(b)所示，请同学们帮他接线，怎样才能使他免于一死。 2、电子绕原子核轨道运行，求在外场中所受力矩和附加能量。 解：   2 I = ef = e 2 2 2 1 2 m Is e r e r   = =  = 在外场 B  中，有 n B e r L m B      =  =  2 2  ，n  方向：  n B e r Wm m B     = −  = −  2 2  ，（附加能量） 小 结 主体内容围绕安培力公式 dF Idl B    =  展开，主要是应用。途径为：安培力公式 → 应用（3 例） → 扩展 → 示例