《电磁学》第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波（8.3）电磁场的能量原理和能流密度矢量

§3电磁场的能量原理和能流密度矢量 电磁场具有能量,电磁场是一种物质存在形式,本节研究包括电磁现象在内的能量 守恒定律,给出其数学表达形式以及电磁场中能流密度矢量的定义,阐述其各项物理意 义,加深对电磁运动规律的理解。 、电磁场能量守恒定律的表达式 如图8-10,空间任取体积V,表面积为Σ。体积V内可电荷,电流 电源,电磁场,V中总 磁能为: W=+n=(ma=1 d∑ 曲面外法向为正 空间任取体积V, 对应表面积为∑ 图8-10 式中,电磁能量密度为 W=(D·E+B·H) 因为D=E0EE,B=p0H,所以上式又可写成 (sE·E+ 当电磁场随时间t变化时

8－3－1 §3 电磁场的能量原理和能流密度矢量 电磁场具有能量，电磁场是一种物质存在形式，本节研究包括电磁现象在内的能量 守恒定律，给出其数学表达形式以及电磁场中能流密度矢量的定义，阐述其各项物理意 义，加深对电磁运动规律的理解。 一、电磁场能量守恒定律的表达式 如图 8-10，空间任取体积 V，表面积为  。体积 V 内可有     电源 电磁场 电荷 电流 , , ，V 中总 电 磁能为： W W W wdV D E B H dV V V e m   = + = = (  +  ) 2 1     图 8-10 式中，电磁能量密度为 ( ) 2 1 w D E B H     =  +  因为 D E B H     =  0  , = 0 ，所以上式又可写成 ( ) 2 1 w 0 E E 0 H H     =    +    当电磁场随时间 t 变化时 Σ V d   空间任取体积 V， 对应表面积为Σ。 曲面外法向为正

∫。(DE+B,B E.+0HH·一=E·-+H aB at at at 运用V×=7OD B 进一步有 E·( J0)+H·(-V×E) E·(V×H)-H·(V×E)-J =-V(ExH)-J0·E 代入之得 dn =-jv(E×Bd-j =-(E×)△-jEdF 其中用到奥-高积分变换公式 、各项物理意义阐述 1、分述 (1)左端项:体积Ⅴ内总场能的时间增加率: (2)右端第一项:若场中V体积内无传导电流,即J。=0,则化为 dn (E×H)· 表明,Ⅴ内总场能的时间增加率必经表面能流流入。定义能流密度矢量一一坡印亭矢量 为:S=E×H 大小一一单位时间内流过与能量传递垂直的单位面积的电磁能量 其 方向一一代表电磁能传递的方向,一般§的方向沿波传播方向。 (2)右端第二项:因为=(E+),E=血-k=P5-k,所以 J。·E=pJb-Jok

8－3－2 dV t w D E B H dV dt t dW V V      +  =   = ( ) 2 1     t B H t D E t H H t E E t w   +    =    +    =             0  0 运用 t B E t D H J    = −    = +      , 0 ，进一步有 E H J E E H H E J E E H J H E t w                = −  −  =   −   −  =   − +  −   0 0 0 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 代入之得     = −    −  = −    −   V V V E H d J E dV E H dV J E dV dt dW          0 0 ( ) ( ) 其中用到奥-高积分变换公式。 二、各项物理意义阐述 1、分述 (1) 左端项：体积 V 内总场能的时间增加率； (2) 右端第一项：若场中 V 体积内无传导电流，即 J 0 = 0  ，则化为 = −         E H d dt dW ( ) 表明，V 内总场能的时间增加率必经表面能流流入。定义能流密度矢量——坡印亭矢量 为： S E H    =  其     方向— —代表电磁能传递的方向，一般 的方向沿波传播方向 。 大小— —单位时间内流过与能量传递垂直的单位面积的电磁能量。 ^ S K   (3) 右端第二项：因为 k J k J J E k E         = + = − = 0 − 0 0 ( ) ,    ，所以 J E J J k      = −  0 2 0  0

具有功率密度的量纲。其中右端第一项(ρJ)为焦耳热项,右端第二项(J。k)为 电源非静电力做功项。故 ∫J·Ed=-丁pJ2+∫J,kd=-Q+P 其中,Q一一电阻所耗功率,P一一电源所做功率。 总述 基于上述各项意义的讨论,现给出能量守恒定律的总体评述:V内总场能的时间增 加率=单位时间内通过∑面流入的能量+V电源之功率-电阻所耗功率。 因为S=ExB随t而变,且E⊥f,所以S=EH,S=「EHl。对于简谐波,例 如:E=E0cos(O1+q),则因cos2cos(ot+)=,而有能流密度的周期平均值: S=-Eh 又因√EE H0,故S∝E2或H2

8－3－3 具有功率密度的量纲。其中右端第一项（ 2 0  J ）为焦耳热项，右端第二项（ J k    0 ）为 电源非静电力做功项。故 J EdV J dV J kdV Q P V V V −  = − +  = − +        0 2 0  0 其中，Q——电阻所耗功率，P——电源所做功率。 2、总述 基于上述各项意义的讨论，现给出能量守恒定律的总体评述：V内 总场能的时间增 加率 = 单位时间内通过  面流入的能量 + V内 电源之功率 - 电阻所耗功率。  =  ⊥ = = T EHdt T S E H t E H S EH S 0 1 因为 随 而变 ,且 ,所以 ,      。对于简谐波，例 如：  = + + = T t dt T E E t 0 2 0 2 1 cos cos( ) 1 cos( ) , 则因   ，而有能流密度的周期平均值： 0 0 2 1 S = E H 又因 2 0 2 0 0 0 0 0   E =  H , 故S  E 或 H