中国科学技术大学：《计算方法》课程教学资源（课件讲义）第七章 计算矩阵的特征值与特征向量

第七章计算矩阵的特征值与 特征向量

2 第七章 计算矩阵的特征值与 特征向量

特征值与特征向量 ■在实际工程计算中，经常会遇到特征值和特征向量的 计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题； 物理学中的各种临界值等 ■定义：设有n阶矩阵A,若有数1及非零向量V满足方 程AV=v,则称入为A的特征值，V为属于特征值九的特 征向量 ■ 线性代数中特征值和特征向量的计算步骤： ●计算矩阵的特征多项式：det(2I-A)=”+.+(-l)”det(A) ●求解齐次线性方程组的解空间：(A-I)V=0,i=1,2,.,n ■困难：求解高次多项式的根 3

特征值与特征向量  在实际工程计算中，经常会遇到特征值和特征向量的 计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题； 物理学中的各种临界值等  定义：设有 阶矩阵 ，若有数 及非零向量 满足方 程 ，则称 为 的特征值， 为属于特征值 的特 征向量  线性代数中特征值和特征向量的计算步骤：  计算矩阵的特征多项式：  求解齐次线性方程组的解空间：  困难：求解高次多项式的根 3 n A λ v Av v = λ λ A v λ det( ) ( 1) det( ) n n λ λ I A− = + +−  A ( ) , 1,2, , i A Iv 0 − == λ i n 

特征值与特征向量 ■求解特征值与特征向量的方法按求解方法的特性可以 分为： ·直接法：可用来计算矩阵的全部特征值和特征向量，一般用于稠密矩阵 ，计算代价为O()且对矩阵的元素是相对不敏感的（注意：此处的直接 法必须作迭代，因为求特征值问题等价于求多项式的根，而后者不可能 存在非迭代的方法。如果经验表明，用一个固定的送代次数收敛（几乎 )从不失败，则称该方法是直接的) ·送代法：一般只提供特征值和特征向量的一个子集的近似，一般用于稀 疏矩阵或者只适合执行矩阵一向量乘法的矩阵。为了得到几个足够精确 的特征值可能需要运行足够长的时间，收敛性强烈的依赖于矩阵的元素 ■求解特征值与特征向量的方法按矩阵的对称性可以分 为： ●非对称特征值问题：非对称矩阵的特征值问题 ●对称特征值问题：对称矩阵的特征值问题，不仅内容非常丰富和优美， 而且在实际问题中经常遇到

特征值与特征向量  求解特征值与特征向量的方法按求解方法的特性可以 分为：  直接法：可用来计算矩阵的全部特征值和特征向量，一般用于稠密矩阵 ，计算代价为 且对矩阵的元素是相对不敏感的（注意：此处的直接 法必须作迭代，因为求特征值问题等价于求多项式的根，而后者不可能 存在非迭代的方法。如果经验表明，用一个固定的迭代次数收敛（几乎 ）从不失败，则称该方法是直接的）  迭代法：一般只提供特征值和特征向量的一个子集的近似，一般用于稀 疏矩阵或者只适合执行矩阵－向量乘法的矩阵。为了得到几个足够精确 的特征值可能需要运行足够长的时间，收敛性强烈的依赖于矩阵的元素  求解特征值与特征向量的方法按矩阵的对称性可以分 为：  非对称特征值问题：非对称矩阵的特征值问题  对称特征值问题：对称矩阵的特征值问题，不仅内容非常丰富和优美， 而且在实际问题中经常遇到 4 3 O n( )

暴法 ■ 在实际问题中，矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用，譬如矩阵的谱半径决定了送代矩阵是否收敛 ■ 幂法：计算接模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ■要求：矩阵A具有完备的特征向量条，即A有个线性 无关的特征向量。在实际问题中，常遇到的实对称矩 阵或具有个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 5

幂法  在实际问题中，矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用，譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛  幂法：计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法  要求：矩阵 具有完备的特征向量系，即 有 个线性 无关的特征向量。在实际问题中，常遇到的实对称矩 阵或具有 个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 5 A A n n

景法 ■设矩阵A的特征值和特征向量如下： 特征值：2≥22.≥2 A是非亏损的，即特征值的几 何重数等于代数重数 特征向量：V1,V2,.,V 幂法可以求入，V1 ■ 基本恩想：不断利用矩阵向量乘法，分析得到的向量 序列，计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ■ 取初值x),做迭代 x(k+1)=Ax(k) x(ktI)=Akx(),x(0)=ajV:+azV2+.+aVn →x+=A(CY1+2V2+.+CVn) =aAV1+a2AV2+.+a.A v =aV1+a23V2+.+anvm 6

幂法  设矩阵 的特征值和特征向量如下： 特征值： 特征向量： 幂法可以求  基本思想：不断利用矩阵向量乘法，分析得到的向量 序列，计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量  取初值 ，做迭代 6 A λλ λ 1 2 ≥ ≥≥  n 1 2 , n vv v  1 1 λ , v ( 1) ( ) ( 1) (0) (0) 11 2 2 ( 1) 11 2 2 112 2 11 1 2 2 2 , ( ) k k k k n n k k n n kk k n n kk k nn n αα α αα α αα α αλ αλ αλ + + + = ⇒ = = + ++ ⇒ = + ++ = + ++ = + ++ x Ax x Ax x v v v x Av v v Av Av Av vv v     (0) x 是非亏损的，即特征值的几 何重数等于代数重数 A

景法 ■情形1：若2>2.≥，则有 qg.经jo a0-g yk-→0 ≈xk+/x) V1≈xk+ 收敛速度取决于： 12 7

幂法  情形1：若 ，则有 收敛速度取决于： 7 λ1 > λ2 ≥≥ λn ( ) ( ) ( ) 2 1 11 2 2 1 1 ( ) 1 11 1 ( 1) 1 1 11 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 0 , / k k k k n n n k k k k k k k k λ λ λα α α λ λ λ α α λ α λ + + + +     = + ++          ≈ ≠ ⇒  → ∞  ≈   ≈ ⇒   ≈ xv v v x v x v x x v x  2 1 | | | | λ λ

景法 情形2：若2=>2≥.≥2nb2=-入 对(r+经 a≠0→x≈2*(aY,+(-1)aY2,k→0 ☐其它情形. 8

幂法  情形2：若  其它情形. 8 1 2 3 1 2 λ = λ > λ ≥≥ λn ,λ = −λ ( ) ( ( ) ) ( ) 1 11 2 2 1 ( ) 1 1 11 2 2 (2 2) (2 ) 2 ( 1) ( ) 1 1 1 (2 1) (2 1) 2 ( 1) ( ) 1 2 1 1 0 1 , / , / k k k k n n n k k k k k k k k k k k k λ λα α α λ α λα α λ λ λ λ + + + − +     = +− + +         ≠ ⇒ ≈ + − →∞  ≈  ≈ + ⇒    ≈  ≈ − xvv v xvv x x vx x x x vx x 

景法 ■在法中，我们构造的序列 可以看出，当k→+0 x(4)2 0,21 ■ 为避免x分量过大（上溢）或过小（下溢），在实际 运算中采用规范运算： x&+》=Ay yD=x/小 9

幂法  在幂法中，我们构造的序列 可以看出，当  为避免 分量过大（上溢）或过小（下溢），在实际 运算中采用规范运算： 9 ( ) 2 1 11 2 2 1 1 k k k k n n n λ λ λα α α λ λ     = + ++         xv v v  ( ) 1 1 0 , 1 , 1 k λ λ   x k → +∞ ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) / k k kkk + +++ ∞  =   =  x Ay yxx ( ) k x

幂法 ■不难发现： y=Ay-/小kL。==A5y/(2小kL） y1=1 ■从而有 y()=A'y(o)A'yo y)= 10

幂法  不难发现：  从而有 10 ( ) ( ) ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) / / 1 k kk k k k − ∞ ∞ ∞ ∞  = = =    =  y Ay x A y x x y   ( ) (0) (0) / kk k ∞ y Ay Ay = 2 1 11 2 2 1 1 ( ) 2 1 11 2 2 1 1 k k k n n n k k k k n n n λ λ λα α α λ λ λ λ λα α α λ λ ∞       + ++       =     ⋅ + ++         vv v y vv v  

景法 ■情形1：若2>≥.≥2，则有 20，则{y}收敛，≈小x+L,V1≈y B)若<0，则{y2{y2+}分别收敛于互为反号的向 量，≈-小k+,Y≈y 11

幂法  情形1：若 ，则有 A) 若 ，则 收敛， B) 若 ，则 分别收敛于互为反号的向 量， 11 λ1 > λ2 ≥≥ λn ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( ) 1 11 ( ) 1 11 1 1 1 1 1 , 0 , 0 k k k k α λ λ α α λ α α λ α ∞ ∞ ∞  ±   v v v y y v v v ( 1) () () 1 ( 1) ( ) 1 1 k kk k k λ λ λ + + ∞ ∞ = = = ≈ x Ay y x y λ1 > 0 ( ) { }k y ( 1) ( ) 1 1 , k k λ + ∞ ≈ ≈ x vy λ1 < 0 (2 ) (2 1) { }{ } k k+ y y ， ( 1) ( ) 1 1 , k k λ + ∞ ≈ − x vy ≈