中国科学技术大学：《计算方法》课程教学资源（课件讲义）第八章 常微分方程数值解

第八章常微分方程数值解 2

2 第八章 常微分方程数值解

微分方程数值解 ■在科学研究或工程领城中，有许多数学模型都是通过 微分方程来描述的，求解微分方程是非常重要的、关 健的问题 ■微分方程按自变量的个数可分为： ●常微分方程 ●偏微分方程 ■微分方程按定解条件可分为： ·初值问题 ●边值问题 3

微分方程数值解  在科学研究或工程领域中，有许多数学模型都是通过 微分方程来描述的，求解微分方程是非常重要的、关 键的问题  微分方程按自变量的个数可分为：  常微分方程  偏微分方程  微分方程按定解条件可分为：  初值问题  边值问题 3

微分方程数值解 ■研究微分方程解析解的学科：数学物理方程，但是绝 大部分的微分方程是没有解析解的 数值求解微分方程没有统一的算法，针对不同类型的 微分方程，需要设计特定的算法 ■ 目前，研究数值求解微分方程的方法是热门的课题， 正在迅速发展之中，常见的方法： ·有限差分法 ●有限元方法 ●有限体积法 ●边界元方法 ●谱方法

微分方程数值解  研究微分方程解析解的学科：数学物理方程，但是绝 大部分的微分方程是没有解析解的  数值求解微分方程没有统一的算法，针对不同类型的 微分方程，需要设计特定的算法  目前，研究数值求解微分方程的方法是热门的课题， 正在迅速发展之中，常见的方法：  有限差分法  有限元方法  有限体积法  边界元方法  谱方法  . 4

微分方程数值解 常微分方程的初值问题： =fx,),xea,b dx y(a)=yo ■为了使解存在雅一，一般需要对函数f(x,)如限制条 件 ■（初值问题解的存在唯一性）若函数∫(x,)在条带 a≤x≤b,-o<y<o上连续，且满足Lipschitz条件， 即f(x,)-f(x,y2≤L以-y2,则初值问题的解在区间 [a,b]上存在且难一 5

微分方程数值解  常微分方程的初值问题：  为了使解存在唯一，一般需要对函数 加限制条 件  （初值问题解的存在唯一性）若函数 在条带 上连续，且满足Lipschitz条件， 即 ，则初值问题的解在区间 上存在且唯一 5     = = ∈ 0 ( ) ( , ) , [ , ] y a y f x y x a b dx dy f xy (, ) 1 2 12 f xy f xy Ly y (, ) (, ) − ≤− f xy (, ) axb y ≤ ≤ −∞< <∞ , [,] a b

微分方程数值解 ■常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法 直接对函数进行运算 ·常微分方程的数值解采用数值离散的方法，即在一系 列离散点列上，求未知函数在这些点上函数值的近似 ■基本步骤如下： (1)对区间进行分割：△，：a=x。<x<<xm=b(即对 函数定义城进行离散)，目标是求解{y=y(x)}的值 (2)对微分方程进行离散，建立关于{}的方程，一 般要求满足：解的存在唯一性、稳定性、收敛性、相 容性 (3)解关于{y}方程，求出{y}的值 6

微分方程数值解  常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法 直接对函数进行运算  常微分方程的数值解采用数值离散的方法，即在一系 列离散点列上，求未知函数在这些点上函数值的近似  基本步骤如下： （1）对区间进行分割： （即对 函数定义域进行离散），目标是求解 的值 （2）对微分方程进行离散，建立关于 的方程，一 般要求满足：解的存在唯一性、稳定性、收敛性、相 容性 （3）解关于 方程，求出 的值 6 ∆I : a = x0 < x1 << xm = b { ( )} i i y yx = { }i y { }i { } yi y

微分方程数值解 ■主要问题： ·如何对定义域进行离散？ ·如何对微分方程进行离散？ ●收敛性问题，即步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解 ●误差估计 ●稳定性问题，即舍入误差在以后各步的计算中，是否会无限制扩大 ·计算效率 ●并行计算 ● 7

微分方程数值解  主要问题：  如何对定义域进行离散?  如何对微分方程进行离散？  收敛性问题，即步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解  误差估计  稳定性问题，即舍入误差在以后各步的计算中，是否会无限制扩大  计算效率  并行计算  . 7

Euler公式 9》 ■ 对定义城[a,b]作等距剖分，即 a+h=2i=01m m ■向前差商公式 -）=y6x)+35) h y y'=f6,以， h v(b) y(a)=a x62. h2 W2 x)=)+h,(x》+2y"(5) →y+1=y,+hf(x,y,) 10=a IN=6 8

Euler公式  对定义域 作等距剖分，即  向前差商公式 8 [,] a b : , , 0,1, , I i b a x a hi h i m m− ∆ =+ = =  11 2 1 1 ( ) () '( ) ''( ) 2 ( ) () ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 (, ) i i i i i i ii i i i ii i i i ii yx yx h yx y h yx yx h f x yx y h h y x y x h fx y x y y y hf x y ξ ξ ξ +++ + − = + − = + =+ + ⇒ =+

Euler.公式 定义：在假设第i步计算是精确的前提下，考虑载断误 差T1=y(x+)-y41,称T+1为局部载断误差。若T41=O(hP) ,则称方法是卫阶相容的，简称相容 ■ 向前差商公式的局部载断误差： T+=y(x+1)-y h2 =x)+h,x》+2"(5)- =(x)+f(,x》+2y"(5)-y-f(x,》 h2 () =O(h2) 9

Euler公式  定义：在假设第 步计算是精确的前提下，考虑截断误 差 ，称 为局部截断误差。若 ，则称方法是 阶相容的，简称相容  向前差商公式的局部截断误差： 9 i 1 11 ( ) T yx y i ii + ++ = − Ti+1 1 11 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( , ( )) ''( ) ( , )) 2 ''( ) 2 ( ) i ii i ii i i i i i i i ii i T yx y h y x h fx y x y y h y x hf x y x y y hf x y h y O h ξ ξ ξ + ++ + = − =+ + − = + + −− = = 1 1 ( ) p T Oh i + + = p

Euler公式 整体载断误差和收敛性：考虑局部载断误差的积累和 传播 e=y(x)-y +区x+空P)-g-n ≤(x,)-y+hf(x,y(x》-f(x,y,+T ≤e+hLy(x)-y+T s(1+hL)e,+T,T=max T, ≤(1+hL)(1+hL)e-+T）+T =(1+hL)le-+(1+hL)+1)T ≤(1+hL)}2(1+hL)le,-2+T）+(1+hL)+1)7 =(1+hL)3e-2+(+hL)2+(1+hL)+1)T 10

Euler公式  整体截断误差和收敛性：考虑局部截断误差的积累和 传播 10 ( ) 1 11 2 1 1 1 ( ) | ( ) ( , ( )) ''( ) ( , )) | 2 ( ) ( , ( )) ( , ) () (1 ) , max (1 ) (1 ) (1 i ii i i i i i ii i i i i ii i i i ii i j j i e yx y h y x hf x y x y y hf x y yx y hf x yx f x y T e hL y x y T hL e T T T hL hL e T T ξ + ++ + + − = − = + + −− ≤ −+ − + ≤+ −+ ≤+ + = ≤+ + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 2 2 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 i i i hL e hL T hL hL e T hL T hL e hL hL T − − − ++ + ≤+ + + + + + =+ + + ++ +

Euler公式 整体载断误差和收敛性： ≤. ≤(1+hL)e+(1+hL)'+.+(1+hL)+1)T =+hLy产++Ly”7 1-(1+hL) ≤1+hLg,+0+L)严"T hL s+r(+ 是1阶方法 ≤em (s+ase(+a) ◆ 查c0财，T=o)ec(c+)0,即Euler公式 是收敛的 11

Euler公式  整体截断误差和收敛性：  当 时， ，即Euler公式 是收敛的 11 ( ) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 ( 1) ( ) 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) i i i i i i i i hL b a L hL e hL hL T hL hL e T hL hL hL e T hL T hL e hL T T ee ee hL hL + + + + + + + − ≤ ≤+ + + + ++ + − + =+ + − + + ≤+ +   ≤+ +      ≤ +≤ +     0 e h = → 0, 0 2 () 0 ( ) 0 baL T T Oh e e hL −   = ⇒ +→     是1阶方法