中国科学技术大学：《数理方程》课程教学资源（试卷习题）2016-2017学年第二学期数理方程B期末考试试卷（试题）

中国科学技术大学 2016-2017学年第二学期 数理方程B期末考试试卷 A卷 □B卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 评阅人 得分 一、（本题10分）求方程ux+yuxy=0的一般解。 得分 二、（本题10分）求解一维半无界弦的自由振动问题： utt=9uxx,t>0,0<x<+∞， u|x=0=0, u|t=0=x,ut|t=0=2sinx,0<x<+∞. 1

•IâÆE‚åÆ 2016–2017Æc1Æœ ÍnêßBœ"££Ú  A Ú B Ú K“ ò  n o 8 ‘ o© © µ 0, 0 < x < +∞, u|x=0 = 0, u|t=0 = x, ut |t=0 = 2 sin x, 0 < x < +∞. 1

得分三、（本题20分）考察一维有界弦振动问题： ut=ur+f(t,x),t>0,0<x<π， 叫z=0=0,ulx=x=0, =0=sin,4lo=sin5,0<x<元： 1.当f化，x)=0时，求出上述定解问题的解山（化，x): 2.当f化，=si血5 sinwt,.w≠k+2,k∈N时，求出上述定解问题的解u2化，)： 3.指出定解问题中方程非齐次项∫(：，x、边界条件和初始条件的物理意义。 2

© n! (K20©) òëk.uƒØKµ    utt = uxx + f(t, x), t > 0, 0 .^á⁄–©^á‘nø¬" 2

得分四、（本题15分）求解定解问题： -提0+t>00<<1 叫z=o有界，z=1=0, u=0=(x),0<x<1. 得分☐五、（体题15分）求解如下泊松方程的边值问题： u十4w十u=名，2+y2+22<1, uz2+w2+2=1=0. 3

© o!(K15©)¶)½)ØKµ    ∂u ∂t = 1 x ∂ ∂x ￾ x ∂u ∂x
+ u, t > 0, 0 äØKµ    uxx + uyy + uzz = z, x2 + y 2 + z 2 < 1, u|x2+y 2+z 2=1 = 0. 3

得分六、（本题15分）设区域2={(x,)y≥x· 1.求区域2上的泊松方程狄利克雷边值问题的格林函数： 2.求解如下泊松方程的狄利克雷边值问题： △2u=0,(x,y)∈2， u(x,r)=(r). 4

© 8!(K15©)´çΩ = {(x, y)|y > x}" 1. ¶´çΩ˛—têß)|éX>äØKǺͶ 2. ¶)  Xe—têß)|éX>äØKµ   ∆2u = 0, (x, y) ∈ Ω, u(x, x) = ϕ(x). 4

得分七、（本题15分）考察定解问题： u=4urr+3u,-0o0, u(0,x)=p(),-0<x<+o 1.求出上述定解问题相应的基本解： 2.当p(x)=x时，求解上述定解问题。 5

© ‘!(K15©) ½)ØKµ    ut = 4uxx + 3u, −∞ 0, u(0, x) = ϕ(x), −∞ < x < +∞. 1. ¶—˛„½)ØKÉAƒ)¶ 2. ϕ(x) = xû߶)˛„½)ØK" 5

参考公式 1.拉普拉斯算子△3在各个坐标系下的表达形式 、必 12 2.二阶欧拉方程：x2y”+四+q型=f(z),在作变量代换x=e下，可以约化为 常系数线性微分方程：品+-显+9y= 3.Legendre方程：[(1-x)y]'+y=0:n阶Legendre多项式： R-2”2=-r (-1)(2m-2k) Legendre多项式的母函数：（1-2at+青=立P.(an,l川<1：Legendre多 项式的模平方：P.(P=2n+ 2 4.v阶Bessel方程：x2”+x+(x2-2)y=0v阶Bessel函数 )-茗m+):B函数的每函数：e-三4 (-1)k Bessel函数在三类边界条件下的模平方：n=号1ona,2n=a2- 安18-景+意8aa 5傅里叶变换和逆变换)=faed:下-Fe)=云rQe-a以 州-号 6拉将拉新变换0列=厂0ep=0+e=。 -,”中国-六4- 7.拉普拉斯方程△3u=M)的基本解： 三维，U,y)=4玩r=V++双 6

Î  ˙ ™ 1. . .déf∆33àáãIXeLà/™ ∆3 = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 = 1 r ∂ ∂r  r ∂ ∂r  + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + ∂ 2 ∂z2 = 1 r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂ ∂r  + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂ ∂θ  + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂ϕ2 . 2. Ó.êßµx 2 y 00 + pxy0 + qy = f(x)ß3äC˛ìÜx = e t eßå±zè ~XÍÇ5á©êßµ d 2 y dt 2 + (p − 1)dy dt + qy = f(e t )" 3. Legendreêß: (1 − x 2 )y 0 0 + λy = 0; nLegendreı뙵 Pn(x) = [ n 2P ] k=0 (−1)k (2n − 2k)! 2 nk!(n − k)!(n − 2k)!x n−2k = 1 2 nn! d n dx n (x 2 − 1)n ; Legendreıë™1ºÍµ(1 − 2xt + t 2 ) − 1 2 = P∞ n=0 Pn(x)t n , |t| .^áe²êµN2 ν1n = a 2 2 J 2 ν+1(ω1na), N2 ν2n = 1 2 [a 2 − ν 2 ω 2 2n ]J 2 ν (ω2na), N2 ν3n = 1 2 [a 2 − ν 2 ω 2 2n + a 2α 2 β 2ω 2 3n ]J 2 ν (ω3na). 5. FpìCÜ⁄_CÜ: F[f](λ) = Z +∞ −∞ f(x)e iλxdx¶F −1 [F](x) = 1 2π Z +∞ −∞ F(λ)e −iλxdλ; F −1 [e −λ 2 ] = 1 2 √ π e − x 2 4 . 6. . .dCÜ: L[f(t)] = Z +∞ 0 f(t)e −ptdt, p = σ + is; L[e αt] = 1 p − α , L[t α ] = Γ(α + 1) p α+1 , L[sin t] = 1 p 2 + 1 , L[cost] = p p 2 + 1 , L[ 1 √ πt e − a 2 4t ] = e −a √p √p " 7. . .dêß∆3u = δ(M)ƒ)µ ëßU(x, y) = − 1 2π ln 1 r , r = p x 2 + y 2¶ nëßU(x, y, z) = − 1 4πr , r = p x 2 + y 2 + z 2 . 6