中国科学技术大学：《计算方法》课程教学资源（课件讲义）第三章 数值微分和数值积分

第三章数值微分和数值积分

2 第三章 数值微分和数值积分

数值微分 ■函数(x)未知或非常复杂的情形下，如何求导数？ ■导数的逼近：差商 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) -0 h =lim f(x)-f(x-h) h-→0 h =lim f(x+h)-f(x-h) h→0 2h ■截断误差 ■步长的选取 3

数值微分  函数 未知或非常复杂的情形下，如何求导数？  导数的逼近：差商  截断误差  步长的选取 3 f x( ) 0 0 0 ( ) () '( ) lim () ( ) lim ( )( ) lim 2 h h h fx h fx f x h fx fx h h fx h fx h h → → → + − = − − = +− − =

数值微分 向前差商 fx)≈3+h)-f) h 截断误差 R(x)=f()-f+)-f) h 27f"(5) =O(h) 0 Xo xo+h 4

数值微分  向前差商  截断误差 4 h f x h f x f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − ≈ o x y 0 x 0 x h + 0 0 0 ( ) () ( ) '( ) ''( ) 2! () fx h fx Rx f x h h f O h ξ + − = − = − =

数值微分 ■ 向后差商 fx)≈f)-f-) h 载断误差 R(x)=f'(x)- f(xo)-f(xo-h) h " h =O(h) o xo-h Xo x 5

数值微分  向后差商  截断误差 5 0 0 0 () ( ) '( ) fx fx h f x h − − ≈ 0 0 0 () ( ) ( ) '( ) ''( ) 2! () fx fx h Rx f x h h f O h ξ − − = − = = o x y 0 x h − 0 x

数值微分 ■中心差商 f'(x)≈+h)-f-h) 2h ■载断误差 R()=f(x,)-f+h)-f-) 2h 3) =0h2) o xo-h Xo xo+h x 6

数值微分  中心差商  截断误差 6 0 0 0 ( )( ) '( ) 2 fx h fx h f x h +− − ≈ ' 0 0 0 2 (3) 2 ( )( ) () ( ) 2 () 3! () fx h fx h Rx f x h h f O h ξ +− − = − = − = o x y 0 x h − 0 x 0 x h +

数值微分 ■如何设定步长？ ■ 理论估计 :装热套6-以→=园 ●舍入误差：e/h ■ 事后估计 ●设D(h,x),D(h/2,x)分别是取步长h,h/2的差商计算公式f(x),对于给定的 误差界8，则当 D(h,x)-D(h/2,x)<8 时，步长h就是合适的步长h 7

数值微分  如何设定步长？  理论估计  截断误差：  舍入误差：  事后估计  设 分别是取步长 的差商计算公式 ，对于给定的 误差界 ，则当 时，步长 就是合适的步长 7 2 (3) 2 max | ( ) | /6 / 6 3 h f x hM = e h/ 3 3 3e h M = Dhx Dh x ( , ), ( / 2, ) h h, /2 ' f x( ) Dhx Dh x ( , ) ( / 2, ) − < ε h h ε

数值微分 ■插值型数值微分 ●对于给定f(x)的函数表，建立插值函数L(x),用插值函数L(x)的导数近 似函数f(x)的导数 fx)≈L.(x)=∑fx,)(x, i=0 f(x)≈L,(x)=∑fx)(x, 1=0 x=xf,)L,)=∑f0,） ●误差估计公式 {得T- Rx)=a包ΠK,-x (n+1)！0s*n 8

数值微分  插值型数值微分  对于给定 的函数表，建立插值函数 ，用插值函数 的导数近 似函数 的导数  误差估计公式 8 f x( ) L x( ) L x( ) f x( ) 0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ). n n i i i n n i i i n j j n j ii j i fx L x fxlx f x L x fxlx x x f x L x fxlx = = = ≈ = ≈ = = ≈= ∑ ∑ ∑ ( 1) 0 ( 1) 0 ( ) ( ) ( ), ( 1)! ( ) ( ) ( ). ( 1)! n n i i n j j i i jn d f R x x x dx n f R x x x n ξ ξ + = + ≤≠ ≤   = −     + = − + ∏ ∏

数值微分 ■数值微分的三点公式 ●给定{(x,f(x)》听，并有x2-x=-=h,则 ,)=x-X-f)+-fx)+任-，Xx-2f0x, 2h2 -h2 2h2 L,()=-+x-f)+-+x-fx)+任-t-型f0x, 263 -h2 2h2 U f)L,)-3)+4x)fx》+5E f))方fx)+-15 f)L.)-2方)-4fx)+3f》+行f(5) ■类似可得数值微分的五点公式 ■用其它插值函数方法类似，如三次样条函数插值 9

数值微分  数值微分的三点公式  给定 ，并有 ，则  类似可得数值微分的五点公式  用其它插值函数方法类似，如三次样条函数插值 9 { } 2 0 ( , ( )) i i i x fx = 2110 xxxxh −=−= 1 2 0 2 0 1 2 0 12 2 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2 xxxx xx xx xx xx L x f x f x f x h hh −− −− −− =++ − 1 2 0 2 0 1 2 0 12 2 22 ( )( )( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2 xx xx xx xx xx xx L x f x f x f x h hh − +− − +− − +− =++ − ( ) ( ) ( ) 2 0 20 0 1 2 2 1 21 0 2 2 2 22 0 1 2 1 '( ) ' ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) '''( ), 2 3 1 '( ) ' ( ) ( ) ( ) '''( ), 2 6 1 '( ) ' ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) '''( ) 2 3 h f x L x fx fx fx f h h f x L x fx fx f h h f x L x fx fx fx f h ξ ξ ξ ≈ =− + − + ≈ =− + − ≈ = −+ + ⇓

数值积分 1959 ■ Newton-Leibniz公式，Green公式，Gauss公式， Stokes公式 ■ 很多积分无解析解，必须使用数值方式求解 ■从积分的定义出发 f(d lim(A △x→0 空as=10n ●求积节点{x} ●求积系数{} 10

数值积分  Newton-Leibniz公式，Green公式，Gauss公式， Stokes公式  很多积分无解析解，必须使用数值方式求解  从积分的定义出发  求积节点  求积系数 10 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) () () i n b i i a i x n ii n i I f f xd x f x x α fx I f = ∆ → =   = = ∆     ≈ = ∫ ∑ ∑ { } αi { }i x

数值积分 ■代数精度：衡量数值积分公式优劣的重要指标之一 ●设[a,b]上以x,i=0,l,n为积分节点的数值积分公式为 I.-r) 若1n(f)满足 In(x')=I(x),i=0,.,k In(x+)≠I(x+)为 则称，(f)具有k阶代数精度 性质：当I(f)具有k阶代数精度时，对任意不高于飞 次的多项式p(x),有In(p)=I(p) 11

数值积分  代数精度：衡量数值积分公式优劣的重要指标之一  设 上以 为积分节点的数值积分公式为 若 满足 则称 具有 阶代数精度  性质：当 具有 阶代数精度时，对任意不高于 次的多项式 ，有 11 [,] a b , 0,1, , i xi n =  0 ( ) ( ), n n ii i I f fx α = = ∑ ( ) n I f 1 1 ( ) ( ), 0, , ; ( ) ( ), i i n k k n I x Ix i k I x Ix + + = = ≠  ( ) n I f k ( ) n I f k k p x( ) () () n I p Ip =