上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第一章 傅里叶积分变换（主讲：王健）

上定更大字 教学物狸方法 傅里叶积分变换 王健 2015.12.01

数学物理方法 王 健 2015.12. 01 傅里叶积分变换

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 第一章傅里叶积分叟换 所谓积分变换,就是通过特定的积分运算,把某函数类9中的一个函 数f(t),变换成另一函数类中的一个函数F(u)。一般地,含参变量u的 积分 u)= f(tK(t, wdt 将某函数类9中的函数f(t),通过上述的积分运算变成另一函数类中 的函数F(ω)就称为一个积分变换,其中:K(t,u)为一确定的二元函数,称 为积分变换的核

第一章 傅里叶积分变换

上定更大字 m1.1傅里叶积分公式 §1.1.1傅里叶级数 1. cost. sint. cos 2t. sin 2t.. cos nt. sin nt 在[-,]上正交, 证:"1 cos nt dt=0, sin nt dt=0(m=1,2,…) cos kt cos nt=2[ cos(k+n)t+cos(k-n)t cos kt cos nt dt ∫[cok+ny+sk-my]dr=0(k≠n) 同理可证: sin kt sin nt dt=0 (k≠n)

1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 , cos ,sin , t t t t nt nt 正交 ,   1 2 cos( ) cos( ) d k n t k n t t  − = + + −  证:  −   1 cos d 0, nt t = sin d nt t  − = 0 cos cos d kt nt t  − = 0 sin sin d 0 kt nt t  − = 同理可证 :  (k  n )

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-丌, 上的积分不等于0.且有 1·1dt=2丌 丌 cos ndt =t 丌 (n=1,2,…) sin nt dt=I 丌 1+cos 2nt coS 2nt coS nt sin nt 2 2

1 1d 2 t    −  =  2 sin d nt t  − 2 cos d nt t  − 2 1 cos 2 cos , 2 nt n t + = 2 1 cos 2 sin 2 nt n t − = =  =  且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 问题:1若函数能展开成三角级数,a1,b是什么? 2展开的条件是什么? 设f()是周期为2兀的周期函数, 且能展开成三角级数 f(t)=4+2(a cos kt+ b, sin kt) k=1 (1)求an f(tdt d+∫1∑(cosk+bsik) 兀2

问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai ,bi是什么？ 2. 展开的条件是什么? 设 f t( ) 2 是周期为 π的周期函数， (1) . 求 a0 π π π 0 π π π 1 ( )d d [ ( cos sin )]d 2 k k k a f t t t a kt b kt t  − − − =    = + +  0 1 ( ) ( cos sin ) 2 k k k a f t a kt b kt  = = + +  且能展开成三角级数

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY dodt十 ∫2askd+∑ b, sin tdt 〔o.2忑 2 「"f(o)dt Tν-兀 (2)求 f(tcos ndt cos ndt (利用正交性) 2 +>la cos kt cos ndt+6 sin kt cos ndt

2 , 2 0 =   a π 0 π 1 ( )d . π a f t t − = 则  π π π 0 π π π 1 1 d cos d sin d 2 k k k k a t a kt t b kt t   − − − = = = + +      (2) . n 求 a 0 ( )cos d cos d 2 a f t nt t nt t   − −   =   π 1 [ cos cos d sin cos d ] k k k a kt nt t b kt nt t     − − = + +    (利用正交性)

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 丌 cos ntt 则 f(t)cos ndt (n=1,2,3,) (3)求bn tsin ndt bsmd(利用正交性) 2 丌 +∑[a」 cos kt sin ntt+b」 sin kt sin ntd]=b, f(t)sin ndt (n=1, 2.3

2 cos dt n a nt  − =  = , n a 1 ( )cos d n a f t nt t   − = 则  (n = 1,2,3, ). (3) . 求 bn 1 ( )sin d n b f t nt t   − = 则  (n = 1,2,3, ). 0 ( )sin d sin d 2 a f t nt t nt t   − −   =   1 [ cos sin d sin sin d ] k k k a kt nt t b kt nt t      − − = + +    = , bn (利用正交性)

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 傅里叶系数 f(t)cos ndt, (n=0, 1, 2, . 丌y f(tsin ndt, (n=1, 2, . T d-T 2丌 f(t)cos ndt, (n=0, 1, 2, -.) 或 2丌 f(tsin ndt, (n=1, 2, -. 丌0

1 ( )cos d , ( 0,1,2, ) 1 ( )sin d , ( 1,2, ) n n a f t nt t n b f t nt t n       − −  = =    = =    2 0 2 0 1 ( )cos d , ( 0,1,2, ) 1 ( )sin d , ( 1,2, ) n n a f t nt t n b f t nt t n      = =    = =    或 傅里叶系数

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数 +∑(an, coS nt+ b sin n 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? f()条件?+∑( (a, cos nt+b,sin) 狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则

代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nt b nt  = + +  0 1 ( ) ? ( cos sin ) 2 n n n a f t a nt b nt  = 条件 + +  在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? 狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明. 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则

上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet)条件: 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2)在一个周期内只有有限个极值点, 则f(x)的傅里叶级数收敛,且有注意:函数展成 傅里叶级数的条 +∑( a cos nt+b,sinm) 件比展成幂级数 的条件低得多 t为连续点 f(t)+f(t) 间断点

周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有    = f t( ) , ( ) ( ) , 2 f t f t + − + t为间断点 t 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. ( ) 0 1 cos sin 2 n n n a a nt b nt  = + + 