荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二重积分（8.8）斯托克斯公式环流量与旋度

第八节 斯托克斯公式环流量与旋度

第八节 斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯( stokes)公式 定理为分段光滑的空间有向闭曲线是以 为边界的分片光滑的有向曲面,r的正向与 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 O OP OR )dzdx + dc小y ax O1 斯托克斯公式 (注意:在斯托克斯公式中,是封闭曲线,∑不 是封闭曲面)

定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 一、斯托克斯(stokes)公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 （注意：在斯托克斯公式中， 是封闭曲线， 不 是封闭曲面）  

证明的思路(证略): 曲面积分二重积分曲线积分 右手法则 ∑ z=f(x,y) J 是有向曲面∑的 正向边界曲线

x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n  证明的思路（证略）： 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 n    是有向曲面 的 正向边界曲线   右手法则

为便于记忆,斯托克斯公式可写成如下形式 dydz dzdx dxdy aa 一P+Q0+Rh O R 另一种形式是: COS s=Ph+Qa小y+Rd

   = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos 另一种形式是： 为便于记忆，斯托克斯公式可写成如下形式：

斯托克斯公式的又一种形式 OP aR 00 aP )cosa+ )cos B+ )cosr las O az ax ax a +Ocos u+ R cost )ds 其中 2的单位法向量为n= cos aL+ cos Bj+ cosy k, r的单位切向量为t= cos ai+ cosay+ cosvk

斯托克斯公式的又一种形式 其中 n cos i cos j cos k,     的单位法向量为 =  +  +  t i j k     的单位切向量为 = cos + cos + cos dS y P x Q x R z P z Q y R [( )cos ( )cos  ( )cos ]   −   +   −   +   −     (Pcos Qcos Rcos )ds   = + +

Stokes公式 aP aR 00 aP )dydz + az a )dax+ )dxdy ax a Pdx+ody+ rda 向曲面上的曲面积分与其边界曲 之间的关系 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 特殊情形

Stokes公式: 的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲 线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz

简单的应用一化空间曲线积分为曲面积分 例1计算曲线积分zx+xd+yt, 其中是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规贝 解按斯托克斯公式,有x d+x+yb=小++d =(-1)-(-1)+1xd=31acy=3dy

例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  , 其 中 是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 二、简单的应用—化空间曲线积分为曲面积分 0 Dxy x y z n 1 1 1 解 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy      = − − − − + = = = Dxy dxdy dxdy dxdy 2 3 [ ( 1) ( 1) 1] 3 3 x y o 1 1 Dxy

例2计算曲线积分 (y-z dx+(2-x )dy+(x-y)dz 其中是平面x+y+=截立方体:0sx≤1, 0≤y≤1,0≤z≤1的表面所得的截痕,若从Ox 轴的正向看去,取逆时针方向 解取为平面x+y+z= 3-2 的上侧被所围成的部分

例 2 计算曲线积分 ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 − + − + −  其中是平面 2 3 x + y + z = 截立方体:0  x  1, 0  y  1,0  z  1的表面所得的截痕,若从 o x 轴的正向看去,取逆时针方向. 解 取Σ为平面 2 3 x + y + z = 的上侧被所围成的部分. z x y o  n  

设F(x,y,=)=x+y+z F=F.=F=1 cos a=cos B=cos y 3 3 3 3 ds J 2 22 2 2 xty y= 4-x x-y 0.20.40.60.811.2 3 (x+y+z)d(:在Σ上x+y+z 2 32=2303b=-2 3 其中D的面积为884

, 3 1 cos = cos  = cos = ds y z z x x y x y z I   − − −        = 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1   = − (x + y + z)ds 3 4   = −  ds 2 3 3 4 = −  Dxy 2 3 3dxdy . 2 9 = − ) 2 3 (在上x + y + z = Dxy 2 3 x + y = 2 1 x + y = 设 , 1 2 3 F(x, y,z) = x + y + z − Fx = Fy = Fz = Dxy 的面积为 4 3 8 1 8 1 其中 1− − =

、物理意义-—环流量与旋度 1.环流量的定义: 设向量场 A(x,y,x)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,,z)k 沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 H·d=Px+Q小+Rz 称为向量场4沿曲线C按所取方向的环流量

三、物理意义---环流量与旋度 . ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 称为向量场 沿曲线 按所取方向的环流量 则沿场 中某一封闭的有向曲线 上的曲线积分 设向量场 A C A ds Pdx Qdy Rdz A C A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k C C            =  = + + = + + 1. 环流量的定义: