荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二重积分（8.4）格林公式及其应用

第四节 格林公式及其应用

第四节 格林公式及其应用

、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区 域,否则称为复连通区域 单连通区域 复连通区域

一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D

设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面,则称G为空间一维单连通区域 维单连通 维单连通 维不连通 二维单连通 二维不连通二维单连通

设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通

格林公式 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围 成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连 续偏导数,则有 00 oP )ddy=Pdxc+g小y(1) ax ay 其中L是D的取正向的边界曲线 公式(1)叫做格林公式

设闭区域D由分段光滑的曲线L 围 成,函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连 续偏导数, 则有   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 二、格林公式 定理1

L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区 域D总在它的左边 那就是说,对于平面单连通区域,边界曲线的逆时针方 向为正向;对于平面复连通区域,边界曲线的外圈,逆 时针方向为正向,边界曲线的里圈,顺时针方向为正向

L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在它的左边. L2 D L1 L2 L1 D 那就是说，对于平面单连通区域，边界曲线的逆时针方 向为正向；对于平面复连通区域，边界曲线的外圈，逆 时针方向为正向，边界曲线的里圈，顺时针方向为正向

证明(1) y=o,(x) d 若区域D既是X一型x=(y) 又是Y一型,即平行于 坐标轴的直线和L至 x=v2() 多交于两点 y=p(x) X aa b D={(x,y)q1(x)≤y≤q2(x),a≤x≤b} D=l(, y,(ysxsy2(v),csysdy

{( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x  y  2 x a  x  b 证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y  x  2 y c  y  d y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y =  2 x A B C E ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y

dxdy=.dy v2(v)ao dx v,(v)ax revi(), ydy-Ce(i(n),y)dy ScB O(x, y)dy-JcE O(x, y)dy d Y1 CR O(x, y)dy+e(x,y)dy x=v2(y) h. 2(x, y)dy P 同理可证 dxdy= P(x, y)dx D

dx xQ dxdy dy xQ yy dc D     =  ( ) ( ) 21    = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy  2  1   = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy   = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy  = L Q ( x, y )dy 同理可证   =  − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x od ( ) 2 x =  y D c CE ( ) 1 x =  y

两式相加得「(4+ 证明(2) D 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是X一型又是L Y-型的区域D1,D2,D3 00 aP 00 aP )dxdy )dxd ax a D1+D2+D ax a

若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 两式相加得   = +  −  L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 .   + +  −  =  −  1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ

00- OP 00 OP )dxdy+ )dxdy+ ox d ax ay ax a 5Px+Q+5.Px+Q小+,Px+Q S, Pdx+Ody D2 L2 (L1L2,L3对D来说为正方向)h

     −   +   −   +   −   1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q    = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向

证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成添加直线段AB1CE 则D的边界曲线由ABL2,BA AFC, CE, L3BC及C构成(。 由(知j(-0) 了AO ax =++[+』+t(Pac+gy) =(2+5,+.(Pc+小y)=P2+g

G D L 3 L 2 F C E L1 A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则D的边界曲线由AB,L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成. 由(2) 知   −  D dxdy yP xQ ( )      = + + + + AB L 2 BA AFC CE {    + + +  + L EC CGA} (Pdx Qdy) 3    = + + + 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy  = + L Pdx Qdy