哈尔滨建筑大学：《变分与弹塑性力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 弹塑性本构关系简介

第二章弹塑性本构关系简介 1.弹性介质本构关系 2.弹塑性力学有关内容简介 3.几种兽用弹塑性材料模型简介 4.弹性矩阵的建立步骤 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1 第二章 弹塑性本构关系简介 1. 弹性介质本构关系 2. 弹塑性力学有关内容简介 3. 几种常用弹塑性材料模型简介 4. 弹塑性矩阵的建立步骤

1.弹性介质本构关系 11线性弹性小变形 对线弹性介质只有两个独立的弹性常数,但 应力应变(本构)关系有多种表示形式: 用G和表示 2G6+2G 2G 1+ kk 用O和体积模量K表示 2Ge.+-6 Kes.+2ge ous+ 9K kk 2000.3

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2 1. 弹性介质本构关系 对线弹性介质只有两个独立的弹性常数，但 应力应变（本构）关系有多种表示形式： 用G和μ表示 用G和体积模量K表示 i j G ei j i j m K kk i j 2G ei j 3 1  = 2 +   =   + i j kk i j i j s K 2G 1 9 1  =   + ij ij kk G ij G       2 1 2 2 + − = ) 1 ( 2 1 i j i j i j kk G       + = − 1.1 线性弹性小变形

式中应力和应变偏张量分别为 =2G E,=en+-EAOn=已 kk +-.6 如果用拉梅〔Lame)常数表示,则有 可=2G6n+1ko6k kk 3+2G 20 2G kk ij 弹性常数间有如下关系 E E 9KG K G E 3(1-21) 2(1+p) 3K+g 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 3 式中应力和应变偏张量分别为 如果用拉梅（Lame）常数表示，则有 弹性常数间有如下关系 ij Geij s = 2 i j i j kk i j i j v i j  e   e   3 1 3 1 = + = + K G KG E E G E K + = + = − = 3 9 ; 2(1 ) ; 3(1 2)  i j G i j  kk i j  = 2  + G kk kk 3 + 2 =    kk ij ij ij G G      2 2 = −

u(3K+G)K=A+G 3K-2G 3EsG(2G+3) 2+g Eu (1+)1-21)2(2+G) 利用上述关系,只要已知两个弹性常数就可 写出有限元分析中的弹性矩阵(D) 例如,当以G和表示时,以张量形式表示的 本构关系为 QG 618+2GO1 lj)hl 由此可获得弹性张量Dw。其他可仿此写出。 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 4 利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可 写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。 例如，当以G和μ表示时，以张量形式表示的 本构关系为 ; 2( ) ; (1 )(1 2 ) ; (2 3 ) ; 3 2 ; 2(3 ) 3 2 G E G G G E G K K G K G + = + − = + + = + = + − =            i j ijkl kl i j kl G i k l j kl G D          2 ) 1 2 2 ( + − = = 由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出

12非线性弹性小变形 非线性弹性介质的本构关系,一般是根据材 料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材 料单向拉伸 Romberg-Osgood樸模型的关系为 8E+kE 式中k和m为拟合的实验参数,E为初始弹性模 量。一般情况下本构关系可表为 在有限元分析中有两种应用飛式:全量形和增 量形本构关系。 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 5

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 5 非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材 料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材 料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为 式中k和n为拟合的实验参数，E为初始弹性模 量。一般情况下本构关系可表为 n E k E ( )    = + ( ) ij ij kl  = f  1.2 非线性弹性小变形 在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增 量形本构关系

121全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相 同,也即 式中D为割线弹性张量,形式上它仍可表为 2G uL k 618+2GO 1-2 但其中的弹性系数G不再是常数,它们是应 变或应力的函数,分别称为割线弹性系数。可 将它们看作与一定应力(或应变)水平对应的 割线常数(割线剪切模量和割线泊松比)。 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 6

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 6 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相 同，也即 kl s ij Dijkl  =  1.2.1 全量形式本构关系 但其中的弹性系数Gs ,μs不再是常数，它们是应 变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可 将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的 割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。 式中 为割线弹性张量，形式上它仍可表为 s Dijkl i j kl s i k l j s s s s ijkl G G D       2 1 2 2 + − =

例如对土, Andenes等依据实验给出 面体正应力、切应力和八面体线应变、角应 变间关系为 oa=3KEoaτo=G,y0 并有 n oct B G ss,(croc )'p oct K G 其中G、别为初始切线剪切和体积模量B 为混凝土单轴抗压强度,a、m、c和为由试验 确定的常数。 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 7

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 7 oct Ks oct  = 3  例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出， 八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应 变间关系为 σoct εoct Ks Kt oct Gs oct  =  并有 m B c s oct a G G         = −   1 p oct s s c e G G K K (  ) = 其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量， 为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验 确定的常数。 B  c oct  oct  Gt Gs

122增量形式本构关系 增量本构关系的表达形式为 do,=f d 订EH Dd k kl 式中D为切线弹性张量,形式上仍可表为 2G 16δ,+2G16,S 但其中的弹性系数G也不是常数,也是应变 或应力的函数,分别称为切线弹性系数。可将 它们看作与一定应力(或应变)水平对应的切 线常数(切线剪切模量和切线泊松比)。 上面介绍的是哥西方法,讲义上还简述了格 林高法,大家可行读散提制作

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 8 1.2.2 增量形式本构关系 增量本构关系的表达形式为 kl t ij ij kl Dijkl f kl    d = ,  d = d 但其中的弹性系数Gt ,μt也不是常数，也是应变 或应力的函数，分别称为切线弹性系数。可将 它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切 线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。 式中 为切线弹性张量，形式上仍可表为 t Dijkl i j kl t i k l j t t t t ijkl G G D       2 1 2 2 + − = 上面介绍的是哥西方法，讲义上还简述了格 林方法，大家可自行阅读

2.弹塑性力学有关内容简介 21应力空间表述的弹塑性本构关系 韧性(塑性)金属材料单向拉伸试验曲线如 下图示意 强度极限 强化股 U 厨服上限 软化段 屈服下限 弹性极限 卸载 残余变形 2000 尔滨建筑大学王焕定教授制 弹性变形

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 9 韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如 下图示意 2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系 2. 弹塑性力学有关内容简介    e 弹性极限 L  y 屈服下限 U 屈服上限  y  b 强度极限 强化段 软化段 残余变形 弹性变形 卸载

J 卸载、反向加载 包辛格效应 反向剧服点 2000.3 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10 包辛格效应 反向屈服点    y −  y 卸载、反向加载