中国科学技术大学：《普通物理》课程PPT教学课件（力学）第七章 机械振动

第七章机械振动 目录 1简诸振动 2简诸振动的合成 3阻尼振动、受迫振动与共振

1 第七章 机械振动 1.简谐振动 2.简谐振动的合成 3.阻尼振动、受迫振动与共振 目 录

)简诸振动 振动:描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化, 机械振动:物体在一定位置附近作周期性往复运动 特征:(1)重复性、周期性; (2)任意周期运动的分解一周期函数的傅里叶分析 简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分在数学 上,个周期为T的函数x(可以被展开为一系列不同频 率的简诸函数的叠加一傅里叶级数展开: ∑cnc0s27+9n)n=1 其中=:f=1T被称为基频,其他频率皆为 基频的整数倍

2 机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动. 。振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化. 特征：⑴ 重复性、周期性； ⑵ 任意周期运动的分解－周期函数的傅里叶分析 简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分.在数学 上,一个周期为T的函数 可以被展开为一系列不同频 率的简谐函数的叠加－傅里叶级数展开：   x  x0  c cos2 f t   n  1,2, n t n  n  n xt 其中 而 被称为基频，其他频率皆为 基频的整数倍. f n  nf1， f1  1/T

一简诸振动的特征及其表达式 弹簧振子的运动 平衡位置 理想模型—轻弹簧、振动质点;小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动 F 由牛顿定律:m dt 令k=a d-x +2x=0 dt 3

3 理想模型——轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动. F   kx 由牛顿定律： kx dt d x m   2 2 弹簧振子的运动 一.简谐振动的特征及其表达式 2   m 令 k 0 2 2 2  x  dt d x 

方程的解为:x=Acos(Ot+ ) 简谐振动的运动方程 速度表达式: QA sin(at+o) dt OA coS( t+o 元2 加速度表达式: dx a==-@Acos(at+o) dt 2Ac0s(ot+φ+丌)

4 方程的解为： x  A cos( t   ) —简谐振动的运动方程 速度表达式： ) 2 cos( sin( )               A t A t dt dx v 加速度表达式： cos( ) cos( ) 2 2 2 2               A t A t dt d x a

描述简诸振动的特征参量 振幅A:简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 周期T:完成一次全振动所需时间 T 2兀0=Nmt T=2元 Vk 频率v: 1k v T 2丌Vm 角频率O:a=2丌 2n T 无论什么初条件,一旦系统振动起来,就有确定的角频率, 它是弹性系统特征的集中体现,故称a为本征频率 5

5 二. 描述简谐振动的特征参量 振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 周期T：完成一次全振动所需时间  2 T  m k   k m T  2 频率 ： m k T   2 1 1   角频率  ： T    2  2  无论什么初条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率， 它是弹性系统特征的集中体现，故称  为本征频率

相位:决定简诸运动状态的物理量(at+p) 初相:决定初始时刻物体运动状态的物理量d 相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态 ◇初始条件决定振幅和初相位 设t=0,x=x0,v=vo o=AcosφW=- losing x2+(0)2= 0 0

6 2 0 2 0 ( )  v A  x  0 0 x v tg     相位：决定简谐运动状态的物理量（ t  ） 初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量  0 0 t  0, x  x ,v  v x0  Acos v0 Asin 设 v 初始条件决定振幅和初相位 相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态

例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时, 1.0×10-2 0.218ms 求运动方程 解 2 4xg-1 A=1x02+2=20×102m tgg /3 φ=丌 ax 代入简谐振动表达式,则有 x=2.0×10-c0s(4m+x)

7 解： m v A x 2 2 2 2 0 0 2.0 10       1 4 2       S T 代入简谐振动表达式，则有 ) 3 4 2.0 10 cos(4 2       x t 例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时， 1 0 2 0 1 .0 10 , 0 .218   x    m v  ms 求 运动方程 3 0 0    x v tg     3 4 

常见的简谐振动 1)竖直悬挂的弹簧振子 选平衡位置为坐标原点 平衡时 kl 0 位移X时 F=mg -k(l+x)=-ke 故物体仍做简诸振动 8

8 三、常见的简谐振动 （1）竖直悬挂的弹簧振子 选平衡位置为坐标原点 平衡时 mg  kl 位移X时 F  mg  k (l  x )  kx 故物体仍做简谐振动 x l 0

(2)单摆 重力形成的力矩,在角度很小时有 mglsin 6≈-mgl6 根据转动定律 d e ngl 6(J=ml2) dt 0 ng d 0 g 6=0 dt 表明:单摆的运动也是谐振动,故 g T=2T g

9 （2）单摆 重力形成的力矩，在角度很小时有  mglsin  mgl 根据转动定律 ( ) 2 2 2 J ml Jmgl dt d      0 2 2     lg dt d 表明：单摆的运动也是谐振动，故 gl T lg   ,  2  l o mg

(3)复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体 类似单摆写出方程为: d26 mgl sin6≈-mglb dt d0 mgl C d t 2 mgl T=2兀 mg 结论:一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 10

10 （3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。 类似单摆写出方程为：    mgl mgl dt d J   sin   2 2   J mgl dt d    2 2 mgl J T J mgl   ,  2 ０  Ｃ l mg 结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力