《概率论与数理统计 Probability Theory and Mathematical Statistics》课程教学资源（电子教案）第七章 假设检验

第七章假设检验 本章主要讲述假设检验思想概述;正态总体参数检验(u检验,t检验,x 内容检验和F检验):非正态总体参数检验(非正态总体均值检验的大样本方法,指 数总体的参数检验);检验的实际意义及两类错误(检验结果的实际意义,检验 提要中的两类错误,样本容量确定问题)等内容 1、理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生 的两类错误 重点2、了解单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。 分析3、了解总体分布假设的x2检验法。 难点 假设检验的基本思想、基本步骤及假设检验可能产生的两类错误。 分析 习题 布置习题7(1,5,70.13.16,18 备注

第七章 假设检验 内容 提要 本章主要讲述假设检验思想概述；正态总体参数检验（ u 检验， t 检验， 2  检验和 F 检验）；非正态总体参数检验（非正态总体均值检验的大样本方法，指 数总体的参数检验）；检验的实际意义及两类错误（检验结果的实际意义，检验 中的两类错误，样本容量确定问题）等内容． 重点 分析 1、理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生 的两类错误。 2、了解单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。 3、了解总体分布假设的 2  检验法。 难点 分析 假设检验的基本思想、基本步骤及假设检验可能产生的两类错误。 习题 布置 习题 7 (1,3,5,7,10,13,16,18) 备注

教学内容( Contents Chapter seven假设检验 hypothesis Tests) §71假设检验思想概述( Summary of Hypothesis Test Idea) 前一章讲了对总体参数的估计问题,即是对样本进行适当的加工,以推断出参数的值(或 置信区间)。本章介绍的假设检验,是另一大类统计推断问题。它是先假设总体具有某种特征 (例如总体的参数为多少),然后再通过对样本的加工,即构造统计量,推断出假设的结论是 否合理。从纯粹逻辑上考虑,似乎对参数的估计与对参数的检验不应有实质性的差别,犹如 说:“求某方程的根”与“验证某数是否是某方程的根”这两个问题不会得出矛盾的结论一样, 但从统计的角度看估计和检验,这两种统计推断是不同的,它们不是简单的“计算”和“验 算”的关系。假设检验有它独特的统计思想,也就是说引入假设检验是完全必要的。我们来 考虑下面的例子 Example7.1某厂家向一百货商店长期供应某种货物,双方根据厂家的传统生产水平, 定出质量标准,即若次品率超过3%,则百货商店拒收该批货物。今有一批货物,随机抽43件 检验,发现有次品2件,问应如何处理这批货物? 如果双方商定用点估计方法作为验收方法,显然243>3%,这批货物是要被拒收的。但 是厂家有理由反对用这种方法验收。他们认为,由于抽样是随机的,在这次抽样中,次品的 频率超过3%,不等于说这批产品的次品率p(概率)超过了3%就如同说掷一枚钱币,正 反两面出现的概率各为12,但若掷两次钱币,不见得正、反面正好各出现一次一样。就是说 即使该批货的次品率为3%,仍有很大的概率使得在抽检43件货物时出现2个以上的次品, 因此需要用别的方法。如果百货商店也希望在维护自己利益的前提下,不轻易地失去一个有 信誉的货源,也会同意采用别的更合理的方法。事实上,对于这类问题,通常就是采用假设 检验的方法。具体来说就是先假设次品率P≤3%,然后从抽样的结果来说明P≤3%这一假 设是否合理。注意,这里用的是“合理”一词,而不是“正确”,粗略地说就是“认为p≤3%” 能否说得过去。具体如何做,下面再说 还有一类问题实际上很难用参数估计的方法去解决。 Example7.2某研究所推出一种感冒特效新药,为证明其疗效,选择200名患者为志愿 者。将他们均分为两组,分别不服药或服药,观察三日后痊愈的情况,得出下列数据 是否痊愈 痊愈者未痊愈者合计 服何种药 未服药者 服药者 问新药是否确有明显疗效? 这个问题就不存在估计什么的问题。从数据来看,新药似乎有一定疗效,但效果不明显, 服药者在这次试验中的情况比未服药者好,完全可能是随机因素造成的。对于新药上市这样 关系到千万人健康的事,一定要采取慎重的态度。这就需要用一种统计方法来检验药效,假 设检验就是在这种场合下的常用手段。具体来说,我们先不轻易地相信新药的作用,因此可 以提出假设“新药无效”,除非抽样结果显著地说明这假设不合理,否则,将不能认为新药 有明显的疗效。这种提出假设然后做出否定或不否定的判断通常称为显著性检验( Significance test) 假设检验也可分为参数检验( Parametric test)和非参数检验( Nonparametric test)。当总体 分布形式已知,只对某些参数做出假设,进而做出的检验为参数检验;对其它假设做出的检

84 教 学 内 容 ( Contents ) Chapter Seven 假设检验(Hypothesis Tests) §7.1 假设检验思想概述(Summary of Hypothesis Test Idea) 前一章讲了对总体参数的估计问题，即是对样本进行适当的加工，以推断出参数的值（或 置信区间）。本章介绍的假设检验，是另一大类统计推断问题。它是先假设总体具有某种特征 （例如总体的参数为多少），然后再通过对样本的加工，即构造统计量，推断出假设的结论是 否合理。从纯粹逻辑上考虑，似乎对参数的估计与对参数的检验不应有实质性的差别，犹如 说：“求某方程的根”与“验证某数是否是某方程的根”这两个问题不会得出矛盾的结论一样。 但从统计的角度看估计和检验，这两种统计推断是不同的，它们不是简单的“计算”和“验 算”的关系。假设检验有它独特的统计思想，也就是说引入假设检验是完全必要的。我们来 考虑下面的例子。 Example 7.1 某厂家向一百货商店长期供应某种货物，双方根据厂家的传统生产水平， 定出质量标准，即若次品率超过3%，则百货商店拒收该批货物。今有一批货物，随机抽43件 检验，发现有次品2件，问应如何处理这批货物？ 如果双方商定用点估计方法作为验收方法，显然2/43＞３％，这批货物是要被拒收的。但 是厂家有理由反对用这种方法验收。他们认为，由于抽样是随机的，在这次抽样中，次品的 频率超过３%，不等于说这批产品的次品率 p （概率）超过了３%.就如同说掷一枚钱币，正 反两面出现的概率各为1/2，但若掷两次钱币，不见得正、反面正好各出现一次一样。就是说， 即使该批货的次品率为３%，仍有很大的概率使得在抽检４３件货物时出现２个以上的次品， 因此需要用别的方法。如果百货商店也希望在维护自己利益的前提下，不轻易地失去一个有 信誉的货源，也会同意采用别的更合理的方法。事实上，对于这类问题，通常就是采用假设 检验的方法。具体来说就是先假设次品率 p  3% ，然后从抽样的结果来说明 p  3% 这一假 设是否合理。注意，这里用的是“合理”一词，而不是“正确”，粗略地说就是“认为 p  3% ” 能否说得过去。具体如何做，下面再说。 还有一类问题实际上很难用参数估计的方法去解决。 Example 7.2 某研究所推出一种感冒特效新药，为证明其疗效，选择 200 名患者为志愿 者。将他们均分为两组，分别不服药或服药，观察三日后痊愈的情况，得出下列数据。 是否痊愈 服何种药 痊愈者 未痊愈者 合计 未服药者 48 52 100 服药者 56 44 100 合 计 104 96 200 问新药是否确有明显疗效？ 这个问题就不存在估计什么的问题。从数据来看，新药似乎有一定疗效，但效果不明显， 服药者在这次试验中的情况比未服药者好，完全可能是随机因素造成的。对于新药上市这样 关系到千万人健康的事，一定要采取慎重的态度。这就需要用一种统计方法来检验药效，假 设检验就是在这种场合下的常用手段。具体来说，我们先不轻易地相信新药的作用，因此可 以提出假设“新药无效”，除非抽样结果显著地说明这假设不合理，否则，将不能认为新药 有明显的疗效。这种提出假设然后做出否定或不否定的判断通常称为显著性检验(Significance test)。 假设检验也可分为参数检验(Parametric test)和非参数检验(Nonparametric test)。当总体 分布形式已知，只对某些参数做出假设，进而做出的检验为参数检验；对其它假设做出的检

验为非参数检验。如例7.1中,总体是两点分布,只需对参数P做出假设检验,这是参数检 验问题,而例7.2则是非参数检验的问题。与估计问题稍不同的是,一般来说非参数检验同 参数检验一样,在实际中经常要用到,因此,我们准备花一定的篇幅分别加以介绍。 无论是参数检验还是非参数检验,其原理和步骤都有共同的地方,我们将通过下面的例 子来阐述假设检验的一般原理和步骤 Example7.3据报载,某商店为搞促销,对购买一定数额商品的顾客给予一次摸球中奖 的机会,规定从装有红、绿两色球各10个的暗箱中连续摸10次(摸后放回),若10次都 是摸得绿球,则中大奖。某人按规则去摸10次,皆为绿球,商店认定此人作弊,拒付大奖, 此人不服,最后引出官司。 我们在此并不关心此人是否真正作弊,也不关心官司的最后结果,但从统计的观点看, 商店的怀疑是有道理的。因为,如果此人摸球完全是随机的,则要正好在10次摸球中均摸到 绿球的概率为()0= 这是一个很小的数,一个统计的基本原理是在一次试验中所发 1024 生的事件不应该是小概率事件。现在既然这样小概率的事件发生了,就应当推测出此人摸球 不是随机的,换句话说有作弊之嫌 上述的这一推断,实际上就是假设检验的全部过程。它一般包含了这么几步:提出假设, 抽样,并对样本进行加工(构造统计量),定出一个合理性界限,得出假设是否合理的结论。 为了便于操作,我们将结合例7.3,把这一过程步骤表述得更加形式化一点。这里要说明一点 的是所谓“小概率事件”。究竞多大概率为小概率事件?在一个问题中,通常是指定一个正 数a,0n(a)}=a.如取a=0.01,由分布列算出: P10=l/1024≈0.001,p=10/1024≈0.01,p+p10≈0.011 对于这种离散型概率分布,不一定能取到n(a).取最接近的n,使当H成立时 PN>m}≤a,因此n=9.即该小概率事件是{N>9} 5°得出结论 已算得N=10,即{N>9发生了,而{N>9被视为对H。不利的小概率事件,它在一 次试验中是不应该发生的,现在{N>9居然发生了,只能认为H是不成立的,即H1:“此

85 验为非参数检验。如例 7.1 中，总体是两点分布，只需对参数 P 做出假设检验，这是参数检 验问题，而例 7.2 则是非参数检验的问题。与估计问题稍不同的是，一般来说非参数检验同 参数检验一样，在实际中经常要用到，因此，我们准备花一定的篇幅分别加以介绍。 无论是参数检验还是非参数检验，其原理和步骤都有共同的地方，我们将通过下面的例 子来阐述假设检验的一般原理和步骤。 Example 7.3 据报载，某商店为搞促销，对购买一定数额商品的顾客给予一次摸球中奖 的机会，规定从装有红、绿两色球各１０个的暗箱中连续摸１０次（摸后放回），若 10 次都 是摸得绿球，则中大奖。某人按规则去摸１０次，皆为绿球，商店认定此人作弊，拒付大奖， 此人不服，最后引出官司。 我们在此并不关心此人是否真正作弊，也不关心官司的最后结果，但从统计的观点看， 商店的怀疑是有道理的。因为，如果此人摸球完全是随机的，则要正好在 10 次摸球中均摸到 绿球的概率为 1024 1 ) 2 1 ( 10 = ，这是一个很小的数，一个统计的基本原理是在一次试验中所发 生的事件不应该是小概率事件。现在既然这样小概率的事件发生了，就应当推测出此人摸球 不是随机的，换句话说有作弊之嫌。 上述的这一推断，实际上就是假设检验的全部过程。它一般包含了这么几步：提出假设， 抽样，并对样本进行加工（构造统计量），定出一个合理性界限，得出假设是否合理的结论。 为了便于操作，我们将结合例 7.3，把这一过程步骤表述得更加形式化一点。这里要说明一点 的是所谓“小概率事件”。究竟多大概率为小概率事件？在一个问题中，通常是指定一个正 数 ,0    1 ，认为概率不超过  的事件是在一次试验中不会发生的事件，这个  称为显著 性水平(Level of significance)。对于实际问题应根据不同的需要和侧重，指定不同的显著性水 平。但为了制表方便，通常可选取  =0.01，0.05，0.10 等。 下面我们用假设检验的语言来模拟商店的推断： 1 0 提出假设： H0 ：此人未作弊； H1 ：此人作弊。 这里 H0 称为原假设(Null hypothesis)，H1 称为备选假设(Alternative hypothesis)或对立 假设(Opposite hypothesis)，备选假设也可以不写。 2 0 构造统计量，并由样本算出其具体值： 统计量取为 10 次模球中摸中绿球的个数 N ．由抽样结果算出 N = 10 . 3 0 求出在 H0 下，统计量 N 的分布，构造对 H0 不利的小概率事件： 易知，在 H0 下，即如果此人是完全随机地摸球的话，统计量 N 服从二项分布Ｂ（10， 1/2）．其分布列为 10 10 ) 2 1 ( k pk = C ，k = 0,1,2,  ,10 ．那么此人摸到的绿球数应该在平均数 5 个附近,所以对 H0 不利的小概率事件是:“绿球数 N 大于某个较大的数，或小于某个较小的 数。”在此问题中，若此 H0 不成立，即此人作弊的话，不可能故意少摸绿球，因此只需考虑 事件“ N 大于某个较大的数”，这个数常称为临界值，即某个分位数。 4 0 给定显著性水平  ，确定临界值： 即取一数 n() 使得Ｐ｛ N ＞ n() ｝= ．如取  =0.01,由分布列算出： 1/1024 0.001, p10 =  10/1024 0.01, p9 =  p9 + p10  0.011. 对于这 种离 散型 概率 分布 ,不 一定 能取 到 n() .取最 接近 的 n ,使当 H0 成立 时， P{N  n}  ，因此 n = 9 .即该小概率事件是 {N  9}. 5 0 得出结论: 已算得 N = 10 ，即 {N  9} 发生了，而 {N  9} 被视为对 H0 不利的小概率事件,它在一 次试验中是不应该发生的，现在 {N  9} 居然发生了，只能认为 H0 是不成立的，即 H1 ：“此

人作弊”成立。 这一推断过程,也是假设检验的一般步骤,在这些步骤中,关键的技术问题是确定一个适 当的用以检验假设的统计量,这个统计量至少应该满足在H成立的情况下,其抽样分布易于 计算(査到)。当然还应该尽量满足一些优良性条件,特别是在参数检验中。限于篇幅,我 们不准备在本书中仔细讨论这些优良性条件。在统计量选定以后,便可构造出由该统计量T描 述某个显著性水平下的一小概率事件{T∈B},我们称使得这一小概率事件发生的样本空间 的点的全体 V={(X1,X2…,Xn)∈X:7(X1,X2,…,XnB)∈Ba} 为H的否定域( Negation region)或拒绝域( Rejection region),通常也简记为={T∈Ban}.最 后的检验即是判断所给的样本是否落在V内,或者是T∈B是否成立。因此,从这个意义上 可以说设计一个检验,本质上就是找到一个恰当的否定域V,使得在H。下,它的概率 P(|H)=(或≤)a 今后我们总是把统计检验中提到的“小概率事件”视为与否定域V是等价的概念。另外, 称V的余集X-为H0的接受域 §7.2正态总体参数检验( Parameter Test of Normal collectivity 对于正态总体,其参数无非是两个:期望和方差σ2,如果加上两总体的参数比较,概 括起来,对参数的假设一般只有如下四种情形:(i)对,(ⅱ)对a2,(ⅲ)对山1-2 (ⅳv)对σ2/σ2.其中情形(i)、(ⅲ)又分为a2(或a2,a2)已知和未知的两种情况 下面我们将分别予以讨论。如前所提到的,对于设计一个检验,关键是构造一个统计量 T=T(6),它需满足的一个必要条件是在H0成立时,分布为已知(有表可查),同时它 对于需要检验的参数来说应该是“较好”的,这一点与参数的区间估计很相似。在正态总体 参数的区间估计中,我们正好也是讨论了上述四种情形的置信区间。在区间估计中,我们曾 提到过,构造参数的置信区间的关键一步是从b的点估计出发,构造一个分布已知的含未知 参数θ的随机变量T(日),针对四种情况,当时我们构造的T(0)分别是 C1.对 7(4) X-A ,(a已知),T(4) X-A ,(a未知) O/vn 对 T(G2) 对p1-2 r(A,n2)=(x=1)-(-2),(a,a2已知) T(1,2) 1n1+2(万(二)(G=0未知) n1+n2 S,+ns n2(n21-1)S C4 对当:7(G2,2) n1(n2-1)S2a2 对于正态参数检验,我们也将针对不同情况,采用形式与上述随机变量T(O)完全一样的统计 量T(60),来作为检验统计量。但这里需要说明的是,作为区间估计中的T(0)与检验中的

86 人作弊”成立。 这一推断过程,也是假设检验的一般步骤，在这些步骤中，关键的技术问题是确定一个适 当的用以检验假设的统计量，这个统计量至少应该满足在 H0 成立的情况下，其抽样分布易于 计算（查到）。当然还应该尽量满足一些优良性条件，特别是在参数检验中。限于篇幅，我 们不准备在本书中仔细讨论这些优良性条件。在统计量选定以后，便可构造出由该统计量 T 描 述某个显著性水平下的一小概率事件{ T  B }，我们称使得这一小概率事件发生的样本空间 的点的全体 {( , , , ) : ( , , , ; ) } V = X1 X2  Xn   T X1 X2  Xn   B 为 H0 的否定域(Negation region)或拒绝域(Rejection region)，通常也简记为 V ={ T  B }．最 后的检验即是判断所给的样本是否落在 V 内，或者是 T  B 是否成立。因此，从这个意义上 可以说设计一个检验，本质上就是找到一个恰当的否定域 V ，使得在 H0 下，它的概率 P(V | H0 ) = (或 )a 今后我们总是把统计检验中提到的“小概率事件”视为与否定域 V 是等价的概念。另外， 称 V 的余集  −V 为 H0 的接受域。 §7.2 正态总体参数检验(Parameter Test of Normal Collectivity) 对于正态总体，其参数无非是两个：期望  和方差 2  ，如果加上两总体的参数比较，概 括起来，对参数的假设一般只有如下四种情形：（ⅰ）对  ，（ⅱ）对 2  ，（ⅲ）对 1 − 2 ， （ⅳ）对 2 2 2 1  / ．其中情形（ｉ）、（ⅲ）又分为 2  （或 2 2 2 1  , ）已知和未知的两种情况。 下面我们将分别予以讨论。如前所提到的，对于设计一个检验，关键是构造一个统计量 ( ) T = T  0 ，它需满足的一个必要条件是在 H0 成立时，分布为已知（有表可查），同时它 对于需要检验的参数来说应该是“较好”的，这一点与参数的区间估计很相似。在正态总体 参数的区间估计中，我们正好也是讨论了上述四种情形的置信区间。在区间估计中，我们曾 提到过，构造参数  的置信区间的关键一步是从  的点估计出发，构造一个分布已知的含未知 参数  的随机变量 T （  ），针对四种情况，当时我们构造的 T （  ）分别是 C1. 对  ： ( ) ,(已知)    n X T − = ， ,( ) 1 ( ) 未知   − − = S n X T C2. 对 2  ： 2 2 2 ( )   nS T = C3. 对 1 − 2 ： （ 未知） （ 已知） 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 ( 2) ( ) ( ) ( , ) , , ( ) ( ) ( , )               = + − − − + + − = + − − − = n S n S X Y n n n n n n T n n X Y T C4. 对 2 2 2 1   ： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( , )     n n S n n S T − − = 对于正态参数检验，我们也将针对不同情况，采用形式与上述随机变量 T ( ) 完全一样的统计 量 ( ) T  0 ，来作为检验统计量。但这里需要说明的是，作为区间估计中的 T ( ) 与检验中的

T(O)是有所不同的,第一,T(O)中含有待估的未知参数θ,因此,它不是统计量,只是 般的随机变量;而T(O)中的参数6为一已知数,因此它是统计量。第二,T(6)的分布是己 知的,这是因为其中的与总体中的参数O是相一致的:而T(6)的分布则需在假设总体参数 θ明确时分布才已知。除此之外,它们的分布形式是完全一样的 上述统计量T(60)在H成立时通常有4种分布: D1.N(O.1)情形CL.、C3.中,σ(或σ1,O2)已知 D2t分布情形,C1.、C3.中,σ(或σ1,O2)未知; D3.x2分布,情形C2 D4.F分布,情形C4 我们分别称以它们为检验统计量的检验为u检验、t检验、x2检验和F检验。下面将分 别讨论这几种检验所适应的具体问题和检验的方法 检验( u test) u检验适应在方差已知的情况下,对期望的检验(单总体或双总体) (一)单总体情形 考察下面的例子: Example7.4一台包装机装洗衣粉,额定标准重量为500g,根据以往经验,包装机的 实际装袋重量服从正态N(G2),其中σ=15g,为检验包装机工作是否正常,随机抽取9 袋,称得洗衣粉净重数据如下(单位:g) 497506518524488517510515516 若取显著性水平a=0.01,问这包装机工作是否正常? 所谓包装机工作正常,即是包装机包装洗衣粉的份量的期望值应为额定份量500g,多装 了厂家要亏损,少装了损害消费者利益。因此要检验包装机工作是否正常,用参数表示就是 =500是否成立。 首先,我们根据以往的经验认为,在没有特殊情况下,包装机工作应该是正常的,由此 提出原假设和备选假设 Ho:=5 H1:4≠500 然后对给定的显著性水平α=0.01,构造统计量和小概率事件,来进行检验。 一般地,可将例7.4表述如下:设X~N(u,a2),G已知,X1X2,…,xn,为X的 子样,求对问题 的显著水平为a(0<a<1的检验。 这个问题就归结为,总体服从N(2),a2已知,需检验μ,由前所述,用u检验法 我们仿照例7.3的步骤来解这个问题 Solution1°提出假设(已有,略)。 2构造统计量。此问题属情形C1.的u检验,故用统计量 X 并计算其具体值。在例7.4中 u=((497+506+518+524+488+517+510+515+516)-500)(15/√9)=202 30易知,在H成立的条件下;u服从正态分布N(0,D),因此根据正态分布的特点,在H 成立的条件下,的值应以较大的概率出现在0的附近,因此对H0不利的小概率事件是u的

87 ( ) T  0 是有所不同的，第一， T ( ) 中含有待估的未知参数  ，因此，它不是统计量，只是一 般的随机变量；而 ( ) T  0 中的参数  0 为一已知数，因此它是统计量。第二， T ( ) 的分布是已 知的，这是因为其中的  与总体中的参数  是相一致的；而 ( ) T  0 的分布则需在假设总体参数  明确时分布才已知。除此之外，它们的分布形式是完全一样的。 上述统计量 ( ) T  0 在 H0 成立时通常有４种分布： D1. N(0,1) 情形 C1.、C3.中， （或1 , 2）已知 ; D2. t 分布情形，C1.、C3.中， （或1 , 2）未知 ; D3. 2  分布，情形 C2.; D4. F 分布，情形 C4. 我们分别称以它们为检验统计量的检验为 u 检验、 t 检验、 2  检验和 F 检验。下面将分 别讨论这几种检验所适应的具体问题和检验的方法。 一、 u 检验( u test) u 检验适应在方差已知的情况下，对期望的检验（单总体或双总体）。 （一）单总体情形 考察下面的例子： Example 7.4 一台包装机装洗衣粉，额定标准重量为 500ｇ，根据以往经验，包装机的 实际装袋重量服从正态 ( , ) 2 N   0 ，其中  0 =15ｇ，为检验包装机工作是否正常，随机抽取 9 袋，称得洗衣粉净重数据如下（单位：ｇ） 497 506 518 524 488 517 510 515 516 若取显著性水平  =0.01，问这包装机工作是否正常？ 所谓包装机工作正常，即是包装机包装洗衣粉的份量的期望值应为额定份量 500ｇ，多装 了厂家要亏损，少装了损害消费者利益。因此要检验包装机工作是否正常，用参数表示就是  =500 是否成立。 首先，我们根据以往的经验认为，在没有特殊情况下，包装机工作应该是正常的，由此 提出原假设和备选假设： H0 ：  =500； H1 ：   500 然后对给定的显著性水平  =0.01，构造统计量和小概率事件，来进行检验。 一般地，可将例 7.4 表述如下：设 ~ ( , ) 2 X N   0 ， 2  0 已知， , , ., , X1 X2  Xn 为 X 的 一子样，求对问题 H0 ：  =  0 ； H1 ：    0 的显著水平为  (0   1) 的检验。 这个问题就归结为，总体服从 ( , ) 2 N   0 ， 2  0 已知，需检验  ，由前所述，用 u 检验法。 我们仿照例 7.3 的步骤来解这个问题。 Solution 1 0 提出假设（已有，略）。 2 0 构造统计量。此问题属情形Ｃ1．的ｕ检验，故用统计量 n X u 0 0  −  = 并计算其具体值。在例 7.4 中 (497 506 518 524 488 517 510 515 516) 500)/(15/ 9) 2.02 9 1 u = ( + + + + + + + + − = 3 0 易知，在 H0 成立的条件下； u 服从正态分布 N(0,1) ，因此根据正态分布的特点，在 H0 成立的条件下， u 的值应以较大的概率出现在０的附近，因此对 H0 不利的小概率事件是 u 的

值出现在远离0的地方。即大于某个较大的数,或小于某个较小的数。这一小概率事件对应 的否定域为 V=fuu-g >u12} 满足P(|H0)=α.构造这一否定域利用了u的概率密度曲线两侧尾部面积(图7-1),故 称具有这种形式的否定域的检验为双侧检验( Two-sided test)。 p(r) 4给定显著性水平,在例7.4中a=0.01,查出临界值u=-2.575,u=u=2.575. 5°从u的值判断小概率事件是否发生,并由此得出接受或拒绝H的结论。对于例7.4 因为在2中算出的u值,其绝对值小于2.575,样本点在否定域V之外,即小概率事件未发生 故接受H,亦即认为包装机工作正常。 (二)双总体情形 双总体u检验适应的问题的一般提法如下:设X1,X2,…,Xn为出自N(1,G1)的样本, 1,H2,…,为出自N(22)的样本,1,O2已知,两个总体的样本之间独立,求对于 1-2的显著水平为a的检验。例如假设具有下列形式 H:1-2≤0;H1:1-2>0 此问题属情形C3.的u检验,故用统计量 当H成立时,总体所服从的是一族分布,因此a的分布也无法确定,通常我们是先取H成 立时的边界值山一μ2=0,这时u~N(O,1,据此来确定否定域。易知,此时若H1: 11-42>0成立,则的值应有变大的趋势。于是对H。不利的小概率事件应为 V=u>u-a 显然当p1-2=0时,P(|p1-H2=0)=a;而当1-42=al1-a}=P{l-a>1a-a}<a 如图7-2所示 (z) 图7-2 总之,当H0成立时,P(|H)≤a.它被认为是在一次试验中实际上不出现的事件。这 否定域的构造利用了N(O,1概率密度单侧的尾部面积,故称这种形式的检验为单侧检验

88 值出现在远离０的地方。即 u 大于某个较大的数，或小于某个较小的数。这一小概率事件对应 的否定域为 { } { } { } 2 2 2 1 1 V u u u u  u u  − − =    =  满足 P(V | H0 ) = .构造这一否定域利用了 u 的概率密度曲线两侧尾部面积（图 7-1），故 称具有这种形式的否定域的检验为双侧检验(Two-sided test)。 图 7-1 4 0 给定显著性水平，在例 7.4 中  =0.01，查出临界值 2  u =-2.575， 2 1  − u =- 2  u =2.575. 5 0 从 u 的值判断小概率事件是否发生，并由此得出接受或拒绝 H0 的结论。对于例 7.4， 因为在 2 0 中算出的 u 值，其绝对值小于 2.575，样本点在否定域 V 之外，即小概率事件未发生， 故接受 H0 ，亦即认为包装机工作正常。 （二）双总体情形 双总体 u 检验适应的问题的一般提法如下：设 X X Xn , , ., 1 2  为出自 ( , ) 2 N 1  1 的样本， Y Y Yn , , ., 1 2  为出自 ( , ) 2 N  2  2 的样本，  1 , 2 已知，两个总体的样本之间独立，求对于 1 − 2 的显著水平为  的检验。例如假设具有下列形式： H0 : 1 − 2  0;H1 : 1 − 2  0 此问题属情形 C3 ．的 u 检验，故用统计量 2 2 2 1 2 1 ( ) n n X Y u   + − = 当 H0 成立时，总体所服从的是一族分布，因此 u 的分布也无法确定，通常我们是先取 H0 成 立时的边界值 1 − 2 = 0 ，这时 u ~ N(0,1) ，据此来确定否定域。易知,此时若 H1 ： 1 − 2  0 成立，则 u 的值应有变大的趋势。于是对 H0 不利的小概率事件应为 { } V = u  u1− 显然当 1 − 2 = 0 时， P(V | 1 − 2 = 0) = ；而当 1 − 2 = a  0 时， u − a ~ N(0,1) ， 此时 P(V | 1 − 2 = a) = P{u  u1−} = P{u − a  u1− − a}  如图 7-2 所示。 图 7-2 总之，当 H0 成立时, ( | ) P V H0   .它被认为是在一次试验中实际上不出现的事件。这 一否定域的构造利用了 N(0,1) 概率密度单侧的尾部面积，故称这种形式的检验为单侧检验

( One-sided test)。最后通过计算u的具体值,观察小概率事件是否发生,未发生接受H0,发 生了则拒绝H 般地,检验统计量若为正态或t分布,采用双侧或单侧检验仅与假设的形式有关,当备 选假设中的参数区域在原假设的参数区域的两侧时,用双侧检验,在一侧时,用对应于该侧 的单侧检验 二、t检验( t test) t检验用于当方差未知时对期望的检验,可以是单总体,也可是双总体。当然对于双总体, 它们的样本之间应该是独立的 (一)单总体情形 考察如下例子: Example7.5某部门对当前市场的价格情况进行调查。以鸡蛋为例,所抽查的全省 个集市上,售价分别为(单位:元/500克) 3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.18 3.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30 已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右,能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于 往年 对于这样的实际问题,通常可以补充下列条件,首先,一般可认为全省鸡蛋价格服从正 态分布N(,a2),其次,我们定出一个显著水平如a=0.05.针对这一问题提出一个合理的假 设是 H:=3.25 1>3.25 将这一问题一般化就是:设X,X2,…,Xn为出自N(Aa2)的样本,a2未知,求对问 10:=o 的显著水平为a(0t1-a(n-D)} 最后根据计算出来的t值,看样本是否落在V内,若落在V内,则拒绝H。,否则,接受H。 具体到例7.5,可算出n=20,X=3.399,S=0.2622,由此计算出t=2.477.另外查表可得 1-a(n-1)=lo9n5(19)=2.0930,或<0) 的显著水平为a的检验 这是情形C3.中σ未知的场合,用统计量

89 (One-sided test)。最后通过计算 u 的具体值，观察小概率事件是否发生，未发生接受 H0 ，发 生了则拒绝 H0 . 一般地，检验统计量若为正态或 t 分布，采用双侧或单侧检验仅与假设的形式有关，当备 选假设中的参数区域在原假设的参数区域的两侧时，用双侧检验，在一侧时，用对应于该侧 的单侧检验。 二、 t 检验( t test) t 检验用于当方差未知时对期望的检验，可以是单总体，也可是双总体。当然对于双总体， 它们的样本之间应该是独立的。 （一）单总体情形 考察如下例子： Example 7.5 某部门对当前市场的价格情况进行调查。以鸡蛋为例，所抽查的全省 20 个集市上，售价分别为（单位：元/500 克） 3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30 已知往年的平均售价一直稳定在 3.25 元/500 克左右，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于 往年？ 对于这样的实际问题，通常可以补充下列条件，首先，一般可认为全省鸡蛋价格服从正 态分布 ( , ) 2 N   ，其次,我们定出一个显著水平如  =0.05.针对这一问题,提出一个合理的假 设是 H0 ：  = 3.25 ； H1 ：   3.25 将这一问题一般化就是：设 X1 X2 Xn , ,  , 为出自 ( , ) 2 N   的样本， 2  未知，求对问 题 H0 ：  =  0 ； H1 ：  >  0 的显著水平为  (0   1) 的检验。这属于情形 C1． 2  未知的情况,可用 t 检验。即取检验 统计量为 S n 1 X t 0 − − =  在 H0 成立的条件下， t ~ t(n − 1) ;又当 H1 成立时， t 有变大的趋势，因此用单侧检验，即取 否定域为 V {t t (n 1)} =  1− − 最后根据计算出来的 t 值，看样本是否落在 V 内，若落在 V 内，则拒绝 H0 ，否则,接受 H0 . 具体到例 7.5,可算出 n =20, X =3.399, S =0.2622，由此计算出 t =2.477.另外查表可得 ( 1) (19) 1 0.975 t n − = t − =2.093<2.477,故拒绝 H0 ，即鸡蛋的价格较往年明显上涨。 （二）双总体的情形 对于双总体，一般地讨论比较麻烦，通常考虑两种特殊情况，一种是 1 = 2 = （未 知）的情形，这一情形问题的一般提法是：设 1 , , , X1 X 2  X n 为出自 ( , ) 2 N 1  的样本， 2 , , , Y1 Y2  Yn 为出自 ( , ) 2 N 2  的样本，两个总体的样本之间独立，求问题 H : 0;H : 0( 0, 0) o 1 −  2 = 1 1 −  2  或  或  的显著水平为  的检验。 这是情形 C3。中 2  未知的场合，用统计量

t=,mn(n+n2-2)(x-万 H1+n2 其中S2=∑(X,-x)2,S2=∑(1-1)2.在H成立时,t服从自由度为 n1=1 n+n2-2的t分布.否定域则依照H1的具体内容来构造,即依照H1决定采用双侧或单侧 检验。 第二种情形是σ1,O2未知,但n1=n2=n,则可考虑所谓配对检验法(Mtod red- sample test)。此时令 ∑Z,S2=∑(Z1-z)2 由于当H1=2时,Z1~N(0.2+a2),且相互独立,则 z~N(0 IZ 且Z与S2独立,故t= t(n-1) S 可作为H0:山-H2=0的检验统计量。 Example7.6某工厂生产某种电器材料。要检验原来使用的材料与一种新硏制的材料的 疲劳寿命有无显著性差异,各取若干样品,做疲劳寿命试验,所得数据如下(单位:小时): 0110150659021027 新材料:6015022031038035025045011017 一般认为,材料的疲劳寿命服从对数正态分布,并可以假定原材料疲劳寿命的对数h5与新 材料疲劳寿命的对数hn有相同的方差,即可设h5~N(1,a2),hn~N(/2,O Solution问题归结为下述检验: H1:1≠H2 当H成立时,h与hn就有相同的分布,从而5与n有相同的分布,即两种材料的疲劳寿 命没有显著性差异。将前面的试验数据取对数 ln5:1.6022.0412.1761.8131.9542.3222.431 lnn:1.7782.1762.3422.4912.5602.5442.3982.6532.0412.243 记h的样本为X1,X2…,Xn,hn的样本为,Y2,…,Y2,则可算出 x=20484,S2 0.501 7≈0.072,n1 0.663 Y=2.3246,S2 =00663,n2=10 对此问题可用式(7.1)中的统计量t,具体算出 t=-20l 显然,这个问题须用双侧检验,若给显著性水平α=0.05,否定域V应为

90 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 n S n S X Y n n n n n n 2 t + − + + − = ( ) ( ) (7.1) 其 中   = = = − = − 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 ( ) , 1 n i i n i i Y Y n X X S n S . 在 H0 成立时 , t 服 从 自 由 度 为 n1 + n2 − 2 的 t 分布．否定域则依照 H1 的具体内容来构造，即依照 H1 决定采用双侧或单侧 检验。 第二种情形是 1 2  , 未知,但 n1 = n2 = n ，则可考虑所谓配对检验法(Method of paired-sample test)。此时令   = = = = − = − = n i i n i i i i i Z Z n Z S n Z Z X Y i n 1 2 2 1 ( ) 1 , 1 , 1,2,, , 由于当 1 = 2 时， ~ (0, ) 2 2 2 Zi N  1 + ，且相互独立，则 ~ (0, ), ~ ( 1) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 − + + n nS n Z N      且 2 Z与S 独立，故 ~ ( 1) 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 − − = −  + + = t n S n Z n nS n Z t     t 可作为 H0 : 1 − 2 = 0的检验统计量。 Example 7.6 某工厂生产某种电器材料。要检验原来使用的材料与一种新研制的材料的 疲劳寿命有无显著性差异，各取若干样品，做疲劳寿命试验，所得数据如下（单位：小时）： 原材料： 40 110 150 65 90 210 270 新材料： 60 150 220 310 380 350 250 450 110 175 一般认为，材料的疲劳寿命服从对数正态分布，并可以假定原材料疲劳寿命的对数 ln  与新 材料疲劳寿命的对数 ln 有相同的方差，即可设 ln  ～ ( , ) 2 N 1  ，ln ～ ( , ) 2 N 2  . Solution 问题归结为下述检验： H0 ： 1 = 2 ； H1 ： 1  2 当 H0 成立时， ln  与 ln 就有相同的分布，从而  与  有相同的分布，即两种材料的疲劳寿 命没有显著性差异。将前面的试验数据取对数： ln  ： 1.602 2.041 2.176 1.813 1.954 2.322 2.431 ln ： 1.778 2.176 2.342 2.491 2.560 2.544 2.398 2.653 2.041 2.243 记 ln  的样本为 1 , , , X1 X 2  X n ，ln 的样本为 2 , , , Y1 Y2  Yn ，则可算出 0.0663, 10 10 0.663 2.3246, 0.072, 7 7 0.501 2.0484, 2 2 2 1 2 1 = = = = = =  = Y S n X S n 对此问题可用式（7.1）中的统计量 t ，具体算出： t = −2.01 显 然 ， 这 个 问 题 须 用 双 侧 检 验 ， 若 给 显 著 性 水 平  =0.05 ， 否 定 域 V 应 为

t卜t05(7+10-2)=lo93(15)≈213} 计算结果表明Hx24(n-1} 如图7-3所示。 图7-3 此时P(|H0)=+=a.对于(ii)当H0成立时,σ2≤a0,令 则2~x2(n-D且2≥x2.注意到此时,不利于H0的事件是统计量x2变大,因此,采用 单侧检验,即取否定域为 ={x2>x(n-D)} 可知此时有 P(|H0)=P{x2>x20(n-1)}≤P{2>x2(n-1)}=a 二)F检验 设X1,X2,…X为出自N(422)的样本,HY2,…,P为出自N(422)的样本, 且样本之间独立。考虑假设

91 {| | (7 10 2) (15) 2.13} 0.975 2 0.05 1  + − =  − t t t . 计算结果表明 t  2.13 ，因此不能否定 H0 ,即认为两种材料的疲劳寿命没有显著性差异。 三、 2  检验和 F 检验( 2  test and F test) 2  检验和 F 检验都是对于方差的检验，前者用于单参数的情形Ｃ2.，后者往往用于两参 数的情形Ｃ4. （一） 2  检验 设 X1 X2 Xn , ,  , 为出自 ( , ) 2 N   的样本，要对参数 2  进行检验，这里  往往是未知 的。假设的形式通常如 (ⅰ) H0 : 2  = 2  0 ; H1 : 2   2  0 (ⅱ) H0 : 2   2  0 ; H1 : 2   2  0 ( H0 : 2   2  0 ; H1 : 2  < 2  0 类似) 都可选择统计量 2 0 2 2   nS = （7.2） 对于（ｉ），当 H0 成立时，式（7.1）右边服从 2  （ｎ-1）分布。由于 2 1 S n n − 是 2  的无 偏估计，因此，当 H0 成立时，上述值应趋向于 n −1，而它也正好是 2  （ｎ-1）的期望值。 比值太大或太小都不利于 H0 ，自然地，可以来用双侧检验，取否定域为 V { (n 1)} { (n 1)} 2 1 2 2 2 2 2 =  −   − −       如图 7-3 所示。 图 7-3 此时 . 2 2 ( | ) 0    P V H = + = 对于（ii）当 H0 成立时， 2   2  0 ，令 2 2 ~2   nS = 则 2 2 2 2   n −1      ~ ( ),且 .注意到此时，不利于 H0 的事件是统计量 2  变大，因此,采用 单侧检验，即取否定域为 V { (n 1)} 2 1 2 =    − − 可知此时有 ( | ) = {   − ( −1)}  {   − ( −1)} =  2 1 2 2 1 2 P V H0 P n P n  (二) F 检验 设 1 , , , X1 X 2  X n 为出自 ( , ) 2 N 1  1 的样本， 2 , , , Y1 Y2  Yn 为出自 ( , ) 2 N  2  2 的样本， 且样本之间独立。考虑假设

≠ (ⅱ)Hn:a12≤ 对此可采用统计量 (n,-7s F= (7.3 n2(n1-1)S2 进行检验,易知,对于(i),在H0下,F~F(n1-l,n2-D),我们可取否定域为 ={FFa(m1-1,n2-1 此时P(|H)=a 对于(ⅱ),类似前面的讨论,可取否定域为 ={F>F2(m1-l,n2-1) 此时P(|H0)≤ Example7.7一台机床大修前曾加工一批零件,共n1=10件,加工尺寸的样本方差为 S2=250042).大修后加工一批零件,共n2=12件,加工尺寸的样本方差为S2=40042) 问此机床大修后,精度有明显提高的最小显著性水平大致有多大 Solution对此实际问题,可设加工尺寸服从正态分布,即机床大修前后加工尺寸分别服 从N(1G12)和N(A2,a2).于是由题意有 0=0 用F统计量 n,(n,一 F 6.36 (n1-1S212×9×40 否定域为(F>Fa(9,11)},从表上查得 当a=0005时,F-(911)=554636 由此可知,在否定H的前提下,最小显著性水平在0.001到0.005之间 §7.3检验的实际意义及两类错误 of Tests and two t 前面对参数的假设检验的方法进行了较详尽的讨论,但读者可能有不少疑问,如这些检 验方法对于相应的问题是不是唯一的方法?若不是唯一的,是不是最优的方法?最优的标准又 是什么?检验的优劣与显著性水平a的关系如何?下面我们将研究一下这方面的问题。为了 不涉及过多的概念和理论推证,我们的讨论只是较为简略的。 检验结果的实际意义( Practical significance of results of tests) )检验的原理是“小概率事件在一次试验中不发生”,以此作为推断的依据,决定是 接受H0或拒绝H0·但是这一原理只是在概率意义下成立,并不是严格成立的,即不能说小概 率事件在一次试验中绝对不可能发生。仍以例7.3来说,尽管按统计推断结论,认为摸球人 作弊,但事实上也完全可能没有作弊。试想如果在不作弊的情况下,10次全部摸中绿球绝对 不可能的话,那么开设摸奖就没有意义了。因此,当摸奖人事实上的确是未作弊的话,商店 的统计推断就犯了错误,关于犯检验的错误我们放到后面再讲。 b)在假设检验中,原假设H与备选假设H1的地位是不对等的。一般来说a是较小的

92 (ⅰ) H0 : 2  1 = 2  2 ; H1 : 2  1  2  2 (ⅱ) H0 : 2  1  2  2 ; H1 : 2  1  2  2 对此可采用统计量 2 2 1 2 2 1 2 1 n n 1 S n n 1 S F ( ) ( ) − − = （7.3） 进行检验，易知，对于（ｉ），在 H0 下， F ~ F(n 1,n 1) 1 − 2 − ，我们可取否定域为 V {F F (n 1,n 1)} {F F (n 1,n 1)] 1 2 1 1 2 2 2 =  − −   − − −   此时 P(V | H0 ) =  . 对于（ⅱ），类似前面的讨论，可取否定域为 V {F F (n 1,n 1)} =  1− 1 − 2 − 此时 P(V | H0 )   . Example 7.7 一台机床大修前曾加工一批零件，共 1 n =10 件，加工尺寸的样本方差为 ( ) 2 2 S1 = 2500  .大修后加工一批零件，共 n2 = 12 件，加工尺寸的样本方差为 ( ) 2 2 S2 = 400  . 问此机床大修后，精度有明显提高的最小显著性水平大致有多大？ Solution 对此实际问题，可设加工尺寸服从正态分布，即机床大修前后加工尺寸分别服 从 ( , ) 2 N 1  1 和 ( , ) 2 N  2  2 .于是由题意有 H0 : 2  1 = 2  2 ; H1 : 2  1 > 2  2 用 F 统计量 6 36 12 9 400 10 11 2500 n n 1 S n n 1 S F 2 2 1 2 2 1 2 1 . ( ) ( )      = − − = 否定域为{ F ＞ (9,11) F1− }，从表上查得 0.001 (9,11) 8.12 6.36; 0.005 (9,11) 5.54 6.36; 1 1 = =  = =  − −     F F 当 时， 当 时， 由此可知，在否定 H0 的前提下，最小显著性水平在 0.001 到 0.005 之间。 §7.3 检验的实际意义及两类错误 (Practical Significance of Tests and Two Types Error) 前面对参数的假设检验的方法进行了较详尽的讨论，但读者可能有不少疑问，如这些检 验方法对于相应的问题是不是唯一的方法?若不是唯一的，是不是最优的方法？最优的标准又 是什么？检验的优劣与显著性水平  的关系如何？下面我们将研究一下这方面的问题。为了 不涉及过多的概念和理论推证，我们的讨论只是较为简略的。 一、 检验结果的实际意义(Practical significance of results of tests) ａ）检验的原理是“小概率事件在一次试验中不发生”，以此作为推断的依据，决定是 接受 H0 或拒绝 H0 .但是这一原理只是在概率意义下成立，并不是严格成立的，即不能说小概 率事件在一次试验中绝对不可能发生。仍以例 7.3 来说，尽管按统计推断结论，认为摸球人 作弊，但事实上也完全可能没有作弊。试想如果在不作弊的情况下，10 次全部摸中绿球绝对 不可能的话，那么开设摸奖就没有意义了。因此，当摸奖人事实上的确是未作弊的话，商店 的统计推断就犯了错误，关于犯检验的错误我们放到后面再讲。 ｂ）在假设检验中，原假设 H0 与备选假设 H1 的地位是不对等的。一般来说  是较小的