《数学建模》课程电子教案（PPT课件讲稿）第三讲 微分方程模型

微分方程模型 吉尸的年传鉴庭间题 物造名画 放嘘糍废器她理间题 流入=流豳间题 追线间题 最速障线间题 人回间题

在研究实际问题时,常常会联系到某些变量的变化 率或导数,这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系,因此,要得到直接关系,就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法: 求精确解;2)求数值解(近似解);3)定性 理论方法

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法

建立微分方程模型的方法 (1)根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型 (2)微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式,与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律

建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律

(3)模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中,许多现象 的规律性不很清楚,即使有所了解也是极其复 杂的,建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象,建立能近似反映问题的微分方程,然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质,再 去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象

（3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象

观众厅地面设计 1问题的提出 在影视厅或报告厅,经常会为前边观众遮挡住自 己的视线而苦恼。显然,场内的观众都在朝台上 看,如果场内地面不做成前低后高的坡度模式, 那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建 立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线

观众厅地面设计 1 问题的提出 在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自 己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上 看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式， 那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建 立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线

建立坐标系 y O—处在台上的设计视点 a—第一排观众与设计视 点的水平距离 b—第一排观众的眼睛到ⅹ 轴的垂直距离 d_相邻两排的排距 δ一视线升高标准 x—表示任一排与设计视 点的水平距离 问题 求任一排x与设计视点o的竖直距离函数y=yx) 使此曲线满足视线的无遮挡要求

建立坐标系 o o—处在台上的设计视点 b b—第一排观众的眼睛到x 轴的垂 直距离 x y a d d a—第一排观众与设计视 点的水平距离 d—相邻两排的排距  —视线升高标准 x—表示任一排与设计视 点的水平距离 求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 使此曲线满足视线的无遮挡要求。 y = y(x) 问题

2问题的假设 1)观众厅地面的纵剖面图一致,只需求中轴线 上地面的起伏曲线即可。 2)同一排的座位在同一等高线上 3)每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离 相等。 4)每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也 相等。 5)所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个 座位的人的头顶擦过即可

2 问题的假设 1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线 上地面的起伏曲线即可。 2) 同一排的座位在同一等高线上。 3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离 相等。 4) 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也 相等。 5) 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个 座位的人的头顶擦过即可

3建模 设眼睛升起曲线应满足微分方程d=F(x,y) dx 初始条件ya=b 1)从第一排起,观众眼 睛与o点的连线的斜率随 排数的增加而增加,而 眼睛升起曲线显然与这 些直线皆相交,故此升b 起曲线是凹的

3 建模 设眼睛升起曲线应满足微分方程 F(x, y) dx dy = 初始条件 y b x a = = o b x y a d d 1）从第一排起，观众眼 睛与o点的连线的斜率随 排数的增加而增加，而 眼睛升起曲线显然与这 些直线皆相交，故此升 起曲线是凹的

2)选择某排M(x,y)和相邻排 M(r-d,yi) M2(x+d, y2) KMM. <Kyr)< KmM MM=M=AB=d MA+Ab matd D K MM A MB B △N1M4相似于△M0 C(x0)C2(x+d,0 ma d K MM y x x

2）选择某排 M (x, y) 和相邻排 ( , ) 1 1 M x −d y ( , ) 2 2 M x + d y o y x-d C(x,0) C2 (x+d,0) M M2 M1 x 1 MM2 KMM  Ky( x)  K N1 A B  N M1 N1 = MN = AB = d MA M B MA AB KMM + = + = 1 1 N1 MA 相似于 oMC x d y MA = d x y MA = x d y KMM  = + 1 D

再计算K Md+ 2 y d+x △ONC相似于△oM2C2 y+8 X M. +x)y+δ) +6 X x MD KMM2 MD xx d K MM x d y8 dy 6δ 一< d dx

x d y KMM  = + 1 再计算 MM 2 K oNC 相似于 2 C2 oM x d x y M D y + = + +  2 ( )( ) y x d x y M D − + + =  2   = + + x d x yd MD M D KMM 2 2 = x x d y   = + + +  x d y   dx dy x x d y   + +