《经济数学基础》课程教学资源：第十一章 参数估计——参数估计典型例题与综合练

经济数学基础 第11章参数估计 第11章参数估计典型例题与综合练习 、典型例题 1.抽样分析 例1已知总体X~N(80.400),样本容量n=100,求样本均值与总体均值之差 的绝对值大于3的概率. 根据抽样分布的定理32可知,若设x“,x是来自正态总体N(O)的一组 ∑x~N(, 样本,则样本均值= 解:因为总体X~N(80400),样本容量n=100,则样本均值 F=∑x1~N(80,4) 故所求概率为PF-80>3= >2P80 >}+P 1-Φ()+Φ( 1-Φ(二) 2(2)=2(1-0.9332)=0.1336 由于H=80.02=400n=1+~N(80400 100即x~N(804) x-80 由于x~N80.4),所以2~N01 2.点估计 404

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——404—— 第 11章 参数估计典型例题与综合练习 一、典型例题 1.抽样分析 例 1 已知总体 X ~ N(80,400) ，样本容量 n =100 ，求样本均值与总体均值之差 的绝对值大于 3 的概率. 根据抽样分布的定理 3.2 可知，若设 n x , , x 1  是来自正态总体 ( , ) 2 N   的一组 样本，则样本均值 = = n i i n x N n x 1 2 ~ ( , ) 1   解：因为总体 X ~ N(80,400) ，样本容量 n =100 ，则样本均值 = = n i xi N n x 1 ~ (80,4) 1 故所求概率为 P{x −80  3} = } 2 3 2 80 {  x − P  + − } 2 3 2 80 { x P } 2 3 2 80 {  − x − P ＝ −  ) + 2 3 1 ( ) 2 3 (− ＝2（ ) 2 3 1− ( ）＝2（1－0.9332）＝0.1336 由于 80, 400 2  =  = ，n =100 ,故 ), 100 400 x ~ N(80, 即 x ~ N(80,4) . 由于 x ~ N(80,4) ，所以 ~ (0,1) 2 80 N x − 2.点估计

经济数学基础 第11章参数估计 例1设正态总体N(0)中未知,a2已知,又设x,x2,…,xn是来自正态总 体的一个样本,问下列样本函数中哪个是统计量?在统计量中,哪些是μ的无偏估 计?哪个是最佳无偏估计? (1)2+1+2x,-1x,x2+p,(3)x:(4)0:(5)mm{x,x,x} (2)3 统计量是样本函数,其中不应含有未知参数,判定样本函数是否为统计量主要 依据就是这条原则统计量O是否为O的无偏估计,就要看O是否满足E(O)=0,所有 无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量 解:①根据统计量的概念可知,(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量 (由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数,故他们都是统计量) ②求无偏估计量 XI x3)=B(x1)+B(x2)-B(x3)4 (计算统计量O的期望,看O是否满足E(O)=0. E2(x2+=⊥E(x2)+H=以+=3 E(x3)= Eo X o2)2020+)(2+) Emmx1x2x}≤(每次试验均取最小值) 从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计. ③求最佳无偏估计量 405

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——405—— 例 1 设正态总体 ( , ) 2 N   中  未知， 2  已知，又设 n x , x , , x 1 2  是来自正态总 体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是  的无偏估 计？哪个是最佳无偏估计？ （1） 1 2 3 6 1 3 2 2 1 x + x − x ；（2） ( ) 3 1 x2 +  ；（3） 3 x ；（4） = 3 1 2 2 i i x  ；（5） min{ , , } 1 2 3 x x x 统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要 依据就是这条原则.统计量  ˆ 是否为  的无偏估计，就要看  ˆ 是否满足  ) =  ˆ E( .所有 无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量. 解：①根据统计量的概念可知，(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量. （由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数 ，故他们都是统计量.） ②求无偏估计量 ( ) 6 1 ( ) 3 2 ( ) 2 1 ) 6 1 3 2 2 1 ( 1 2 3 1 2 3 E x + x − x = E x + E x − E x =  +  −  =  6 1 3 2 2 1 （计算统计量  ˆ 的期望，看  ˆ 是否满足  ) =  ˆ E( .）      3 4 3 1 ( ) 3 1 ( )] 3 1 [ E x2 + = E x2 + = + = E(x3 ) =  = 3 1 2 2 ( i i x E  )= = 3 1 2 2 ( ) 1 i i E x  = = + 3 1 2 2 2 ( ) 1 i    = ( ) 3 2 2 2    +   E{min{ x1 , x2 , x3 }}   （每次试验均取最小值） 从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计. ③求最佳无偏估计量

经济数学基础 第11章参数估计 D23+2-x)=D(x)+5DOx)-Dx)=26 D(x3)= 所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的) (计算所有无偏估计量O的方差D(O),其中最小者即为最佳无偏估计量.) (1+6) 0-1 是未知参数,x2,x是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分 别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量 矩估计法是依据“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则, 建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系,从中求出参数估计量的方法 极大似然估计法就是指似然函数1(x1,x2,…x;)=f(x,b)(x2,O)…f(x;) 在θ处取得最大值 解(1)用矩估计法求的估计量(总体的一阶原点矩是期望,二阶中心矩是方 差.) 由于总体的一阶原点矩为 1+ E(x)=x(x)x=[x1+0)x= 02+0 X= 样本的一阶原点矩为"a 2x-1 x 令E(X)=x,得2+0,从中解出 406

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——406—— 2 1 2 3 1 2 3 36 26 ( ) 36 1 ( ) 9 4 ( ) 4 1 ) 6 1 3 2 2 1 D( x + x − x = D x + D x − D x =  2 3 D(x ) =  所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的). （计算所有无偏估计量  ˆ 的方差 ) ˆ D( ，其中最小者即为最佳无偏估计量.） 例 2 设总体 X 的概率密度为    +    =  0 其它 (1 ) 0 1 ( ) x x f x ，其中   −1 是未知参数， n x , x , , x 1 2  是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分 别用矩估计法和极大似然估计法求  的估计量. 矩估计法是依据“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则， 建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系，从中求出参数估计量的方法. 极大似然估计法就是指似然函数 ( , , , ; ) ( , ) ( , ) ( ; ) L x1 x2  xn  = f x1  f x2   f xn  在  ˆ 处取得最大值. 解(1)用矩估计法求  的估计量（总体的一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方 差.） 由于总体的一阶原点矩为  + − E(X) = xf (x)dx   = +  1 0 x(1 )x dx 1 0 2 2 1 + +  +  = x +  +  = 2 1 样本的一阶原点矩为 = = n i i x n x 1 1 令 E(X ) = x ，得 = x +  +  2 1 ，从中解出 = − −  = x x 1 2 1 ˆ   = = − − n i i n i i x n x n 1 1 1 1 1 2

经济数学基础 第11章参数估计 是θ的矩估计量 (2)用极大似然估计法求的估计量(由于似然函数与其对数具有相同的极大值 点,而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出,故常常采用对似然函数取对 数的方法求极大似然估计) 似然函数1(x1,x2…x:0)=f(x1)(x2)…f(xn)=(1+0)7(x1x2…xn) 两边取对数,得血L)=nl(1+0)+h(xx2…x) dIn L In( x 求导数d01+0 dIn L +n(x1x2…xn)=0 令 得 n+>nx n In In 从中解出θ= 0是0的极大似然估计 3.区间估计 例1设来自正态总体X~N口)的样本值:51、51、48、50、47、50、 5.2、5.1、5.0 试求(1)已知=1;(2)0未知两种情况分别求总体均值的置信度为0.95的置 信区间 407—

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——407——  ˆ 是  的矩估计量. (2)用极大似然估计法求  的估计量（由于似然函数与其对数具有相同的极大值 点，而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出，故常常采用对似然函数取对 数的方法求极大似然估计） 似然函数 L(x1 , x2 , xn ;) = ( ) ( ) ( ) 1 2 n f x f x  f x =  (1+ ) ( ) 1 2 n n x x x 两边取对数，得 ln L() = ln(1 ) ln( ) 1 2 n n +  +  x x x 求导数 = d dlnL ln( ) 1 1 2 n x x x n +  +  令 0 d dln =  L ，得 ln( ) 0 1 + 1 2 = +  n x x x n  从中解出  = ˆ 1 ln 1 − − = n i i x n   = = + = − n i i n i i x n x 1 1 ln ln  ˆ 是  的极大似然估计. 3.区间估计 例 1 设来自正态总体 X ～ ( , ) 2 N   的样本值：5.1、5.1、4.8、5.0、4.7、5.0、 5.2、5.1、5.0 试求(1)已知  =1 ；(2)  未知两种情况分别求总体均值  的置信度为 0.95 的置 信区间

经济数学基础 第11章参数估计 对正态总体N(O)的未知参数进行区间估计时,方差2已知和未知的情 况下,所选取的统计量是不同的,因此服从的分布也是不同的,从而得到的置信区 间也是不同的 解:计算得样本均值9 x=-(5.1+51+…+5.0)=5.0 因为置信度为0.95,所以=005 (1)这是已知方差σ=1,对均值μ的区间估计问题 查正态分布数值表求临界值2 d(U)=1-a/2=1-0.025=0975 501.96×√=4.347 0.01 +mVn=2.125+1.6×√16=5653 故所求总体均值的置信度为095的置信区间为[4347,5653] (已知方差σ时,总体均值以的置信度为095的置信区间为[xUaⅦ, (2)这是未知方差,对均值以的区间估计问题 查自由度为n-1=8,a=005的t分布表得到临界值w(S)=2306 408

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——408—— 对正态总体 ( , ) 2 N   的未知参数  进行区间估计时，方差 2  已知和未知的情 况下，所选取的统计量是不同的，因此服从的分布也是不同的，从而得到的置信区 间也是不同的. 解：计算得样本均值 (5.1 5.1 5.0) 5.0 9 1 x = + ++ = ， 因为置信度为 0.95，所以  = 0.05. (1)这是已知方差  =1 ，对均值  的区间估计问题. 查正态分布数值表求临界值 2 U ， ( ) 1 / 2 1 0.025 0.975 2  U = − = − = ， 2 U =1.96 因 x - U / 2 n  ＝5.0-1.96× 9 1 ＝4.347 x ＋ U / 2 n  ＝2.125＋1.96× 16 0.01 ＝5.653 故所求总体均值  的置信度为 0.95 的置信区间为[4.347，5.653]. （已知方差 2  时，总体均值  的置信度为 0.95 的置信区间为[ x - U / 2 n  ， x + U / 2 n  ].） (2)这是未知方差 2  ，对均值  的区间估计问题. 查自由度为 n－1＝8， = 0.05 的 t 分布表得到临界值 (8) 0.05 t ＝2.306

经济数学基础 第11章参数估计 计算样木标准差得s=0.151.(样本标准差”V>(x- 0.1581 因 5.0-2.306 4.878 0.1581 50+2306×√9=5,22 故所求总体均值的90%的置信区间为[4878,5.122] (未知方差σ2时,总体均值H的置信度为095的置信区间为[xn, x +Ia 二、综合练习 1填空题 1.对于有限总体,采取抽样,就可以获得简单随机样本 叫做统计量. 3.对总体X~f(xO)的未知参数O进行估计,属 问题.常用的参数估计 有 两种方法. 4.比较估计量好坏的两个重要标准 409

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——409—— 计算样本标准差得 s＝0.1581.（样本标准差 = − − = n i i x x n s 1 2 ( ) 1 1 ） 因 x -  t n s ＝5.0-2.306× 9 0.1581 ＝4.878 x ＋  t n s ＝5.0+2.306× 9 0.1581 ＝5.122 故所求总体均值  的 90％的置信区间为[4.878，5.122]. （未知方差 2  时，总体均值  的置信度为 0.95 的置信区间为 [ x -  t n s ， x +  t n s ]） 二、综合练习 1.填空题 1. 对于有限总体，采取 抽样，就可以获得简单随机样本. 2. 叫做统计量. 3. 对总体 X ~ f (x; ) 的未知参数  进行估计，属 于 问题.常用的参数估计 有 ， 两种方法. 4. 比较估计量好坏的两个重要标准 是 ，

经济数学基础 第11章参数估计 5.设x,x2,…,x是来自正态总体N()(均未知)的样本值,则参数 的置信度为1-a的置信区间为 ,又参数σ的置信度为1-a的 置信区间为 1.随机有放回地重复 2.不含未知参数的样本函数; 3.参数估计,矩估计,极大似然估计; 4.无偏性,有效性; (n-1)s2(n-1)s2 5.(x-1(m-1)Vn,x+12(n-1)n),(xa2(m-1),x2a2(n-1) 2单选题 设x1x2“,x是来自正态总体N()(均未知)的样本,则 )是统计量:(A)x;(B)x+4;(C)a2;(①D)41 2.设总体X的均值与方差都存在,且均为未知参数,而xx2…,x是该 总体的一个样本,记 则总体方差的矩估计为() (A)x:(B) (D)n 3.设x,x2是来自正态总体N()的容量为2的样本,其中为未知参数,以 下关于“的估计中,只有()才是H的无偏估计 (A)3 (C)4、 (D) 410

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——410—— 5. 设 n x , x , , x 1 2  是来自正态总体 ( , ) 2 N   （ 2 , 均未知）的样本值，则参数  的置信度为 1− 的置信区间为 ，又参数 2  的置信度为 1− 的 置信区间为 . 1. 随机有放回地重复； 2．不含未知参数的样本函数； 3．参数估计，矩估计，极大似然估计； 4．无偏性，有效性； 5.（ x - t (n −1)  n s ， x + t (n −1)  n s ）,（ ( 1) ( 1) 2 / 2 2  − −  n n s ， ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2  − − − n n s ）. 2.单选题 1. 设 n x , x , , x 1 2  是来自正态总体 ( , ) 2 N   （ 2 , 均未知）的样本，则 （ ）是统计量：(A) 1 x ；(B) x +  ；(C) 2 2 1  x ；(D) 1 x 2.设总体 X 的均值  与方差 2  都存在，且均为未知参数，而 n x , x , , x 1 2  是该 总体的一个样本，记 = = n i i x n x 1 1 ，则总体方差 2  的矩估计为（ ）. (A) x ；(B) = − n i i x x n 1 2 ( ) 1 ；(C) = − n i i x n 1 2 ( ) 1  ；(D) = n i i x n 1 1 2 3. 设 1 2 x , x 是来自正态总体 N(,1) 的容量为 2 的样本，其中  为未知参数，以 下关于  的估计中，只有（ ）才是  的无偏估计. (A) 1 2 3 4 3 2 x + x ；(B) 1 2 4 2 4 1 x + x ；(C) 1 2 4 1 4 3 x − x ；(D) 1 2 5 3 5 2 x + x

经济数学基础 第11章参数估计 4.设x,x2…x是来自正态总体N(a2)的样本,a2已知而为未知参数, x 记为n,已知Φ(x)表示标准正态分布N)的分布函数,(.96)=0975, dp(128)=0900,则4的置信水平为0.95的置信区间为( (A)(x-0.975Ⅶn,x+0.975Ⅶn);(B)(x-1.96√n,x+1.96√n) ()(x-1.28V,x+1,28Vm):①)(x-0.90,+0.90Vm) 3.计算题 某种零件长度(单位:cm)服从X~N(103),今从中任取9个零件抽检, (1)9个零件的平均长度大于11.1cm的概率 (2)9个零件的长度的样本方差大于034的概率 2.假设随机变量X服从区间[ab1上的均匀分布,参数ab未知,x“x是 来自X的一个样本,求参数的矩估计 3.设样本x…x来自总体f(x)=b“10<x<1求未知参数0的极大似然 估计量. 4.假设某车间生产的滚珠直径(单位:m)服从正态分布N(005),现从某 天的产品里随机抽取5个滚珠,测得直径如下: 14.6 14.9 15.2 411

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——411—— 4.设 n x , x , , x 1 2  是来自正态总体 ( , ) 2 N   的样本， 2  已知而  为未知参数， 记为 = = n i i x n x 1 1 ，已知 (x) 表示标准正态分布 N(0,1) 的分布函数， (1.96) = 0.975 ， (1.28) = 0.900 ，则  的置信水平为 0.95 的置信区间为（ ）. (A)( x -0.975 n  ， x +0.975 n  )；(B) ( x -1.96 n  ， x +1.96 n  ) (C)( x -1.28 n  ， x +1.28 n  )；(D) ( x -0.90 n  ， x +0.90 n  ) 1. A ； 2．B ； 3．D ； 4．B . 3.计算题 1. 某种零件长度（单位：cm）服从 ~ (11,0.3 ) 2 X N ，今从中任取 9 个零件抽检， 求： （1）9 个零件的平均长度大于 11.1cm 的概率； （2）9 个零件的长度的样本方差大于 2 0.34 的概率. 2. 假设随机变量 X 服从区间[ a,b ]上的均匀分布，参数 a,b 未知， n x , , x 1  是 来自 X 的一个样本，求参数的矩估计. 3. 设样本 n x , , x 1  来自总体 ( ; ) ,0 1 1 =   − f x x x    ,求未知参数θ的极大似然 估计量. 4. 假设某车间生产的滚珠直径（单位：mm）服从正态分布 N(,0.05) ，现从某 天的产品里随机抽取 5 个滚珠，测得直径如下： 14.6 15.1 14.9 15.2 15.1

经济数学基础 第11章参数估计 求置信度为0.95时滚珠平均直径的置信区间取a=005 1.33. 2.6,2.4 3.第一种 三、本章作业 样本x,,x来自指数分布 f(x;6)= ,x≥a,>0 用矩估计法分别求θ,a的估计量 2.设样本x…x来自总体f(xO)=“0<x<1 求未知参数θ的极大似然估计量.若随机抽取一组样本,得样本值0.5;0.6 0.5;0.4 求θ的一个极大似然估计值. 3.假设新生男婴的体重服从正态分布,随机抽取12名新生男婴,测其体重分 别为(单位:g): 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 2880 2600 3400 2540 试分别就下面两种情形以90%的置信度估计新生男婴的平均体重(单位:g) (1)σ2=375;(2)σ未知 6=s=x-5,其中品 ∑(x1-x) 2.6=14 3.(1)[2878.38,3235.62]:(2)[2862.42,3251.58] 412

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——412—— 求置信度为 0.95 时滚珠平均直径的置信区间.取  = 0.05. 1. 33． 2. 6，2.4 3. 第一种 4. 1 6． 三、本章作业 1．样本 n x , , x 1  来自指数分布 e , , 0 1 ( ; ) =   − −     f x x a x a 用矩估计法分别求 θ，a 的估计量. 2．设样本 n x , , x 1  来自总体 ( ; ) ,0 1 1 =   − f x x x    求未知参数θ的极大似然估计量.若随机抽取一组样本，得样本值 0.5；0.6； 0.5；0.4 求θ的一个极大似然估计值. 3．假设新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取 12 名新生男婴，测其体重分 别为（单位：g）： 3100 2520 3000 3000 3600 3320 3160 3560 2880 2600 3400 2540 试分别就下面两种情形以 90％的置信度估计新生男婴的平均体重（单位：g）. （1） 2 2  = 375 ；（2） 2  未知. 1． = s,a ˆ = x − s ˆ  ,其中 = = n i i x n x 1 1 ， = − − = n i i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 ； 2． 1.42 ˆ   ； 3．(1)[2878.38，3235.62]；(2) [2862.42，3251.58]

经济数学基础 第11章参数估计 -413

经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——413——