《数学建模》课程电子教案（PPT课件讲稿）第六讲 线性代数模型

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线性代数模型 有些复杂问题,往往给人以变幻莫测的感觉,难 以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空 间,利用线性代数的基本知识建立模型,就可以 掌握事物的内在规律,预测其发展趋势

有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难 以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空 间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以 掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。 线性代数模型

Durer魔方 德国著名的艺术家 Albrecht Durer(1471-1521) 于1514年曾铸造了一枚名为“ Melen cotia i的铜币 令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符 号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币 右上角的数字问题

Durer 魔方 德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521) 于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。 令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符 号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币 右上角的数字问题

1 Durer魔方 特点 163213 每行之和、每列之和、对 5-1018 角线之和、四个小方块之96712 和、中心方块之和都相等,415141 为确定的数34 四角之和、中间对边之和均为34。 所出现的数是1至16的自然数 最下边一行中心数为1514,正是制币的时间。 问题是否还存在具有这些(或部分)性质的魔方?

1 Durer 魔方 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 特点 每行之和、每列之和、对 角线之和、四个小方块之 和、中心方块之和都相等， 为确定的数34。 所出现的数是1至16的自然数。 四角之和、中间对边之和均为34。 最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。 问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？

1080-100150 6+1+180718 140111015040 9106 91070 02016090 15091 16091 201303060 1996 1997 定义 如果4×4数字方,它的每一行、每一列、每一对 角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数, 则称这个数字方为 Durer魔方。 RC=D=S

0 6 1 18 9 10 6 0 15 0 9 1 1 9 9 6 0 7 1 18 9 10 7 0 16 0 9 1 1 9 9 7 10 80 100 150 140 110 50 40 70 20 160 90 120 130 30 60 定义 如果4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对 角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数， 则称这个数字方为 Durer 魔方。 R=C=D=S

你想构造 Durer魔方吗? 如何构成所有的 Surer魔方? Durer魔方有多少? 2 Durer魔方的生成集 所有的 Durer魔方的集合为D 0000 000-0 O E 0000 1—1—11 1111 111 0000 RC=D=S=0 RC=D=S=4

你想构造Durer魔方吗？ 如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？ 2 Durer魔方的生成集 所有的Durer魔方的集合为 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E= R=C=D=S=0 R=C=D=S=4

13 bulb 12 13 a24 B 31a a bbbb 42 43a 41 42 3044 类似于矩阵的加法和数乘,定义魔方的加法和数乘 易验证,D加法和数乘封闭,且构成一线性空间。 记M=所有的4×4数字方},则其维数为16 而D是M的子集,则D是有限维的线性空间。 根据线性空间的性质,如果能得到D的一组基, 则任一个 Durer方均可由这组基线性表示

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 A= b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 B= 类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。 易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M ={所有的4×4数字方} ，则其维数为16。 而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。 根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基， 则任一个Durer方均可由这组基线性表示

由0,1数字组合,构造所有的R=C=D=S=1的魔方 共有8个,记为Q,=1,2,,8 100-0 10-00 0010 Q 001 0001 00 100 0100 0010 00011 000 1000 00 Q Q4=|01 0010 1000 0100 0010

由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。 共有8 个，记为Qi , i=1,2,…,8。 Q1= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 Q2= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 Q3= Q4= 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 01 100 0-0—1 Q 0-01—0 1000 0100 0—0—0—1 0 0 0 0 Q 000001 0—1=00 1000 0010 Q 00—1 00-0 0—0-1-0 0-0

Q 5 = 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Q 6 = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Q 7 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Q 8 = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0

易知Q+Q+03+Q-C2-0-Q-Q=0 则Q2Q23线性相关。 而由1g+22+g3+4+593+96+97=0 +6++0000 72+ 74+ 0000 十++|0000 +2+5+|0000 =12=73=14=75=76=7 0 9Q2g线性无关。任一 Durer方可由它 们线性表示

易知 Q1 +Q4 +Q5 +Q8 −Q2 −Q3 −Q6 −Q7 = 0 则 Q1 Q2 Q8 , ,  , 线性相关。 而由 r1 Q1 + r2 Q2 + r3 Q3 + r4 Q4 + r5 Q5 + r6 Q6 + r7 Q7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 r + r 6 r 5 7 r + r 3 4 r + r 3 5 r + r 4 7 r + r 2 r 4 6 r + r 2 5 r + r 3 r 1 7 r + r 1 6 r + r 7 r 1 3 r + r 2 4 r + r 5 6 r + r = r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = 0 Q1 Q2 Q7 , ,  , 线性无关。任一Durer方可由它 们线性表示