吉林大学：《计算机控制技术》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 数字控制器的状态空间设计方法 7.2 线性定常离散系统的能控性和能观性

7.2线性定常离散系统的 能控性和能观性 线性定常离散系统的能控性 线性定常离散系统的能观性 口 对偶原理 口 系统状态能控性、能观性的其它特性 口输出能控性

7.2 线性定常离散系统的 能控性和能观性 ❑ 线性定常离散系统的能控性 ❑ 线性定常离散系统的能观性 ❑ 对偶原理 ❑ 系统状态能控性、能观性的其它特性 ❑ 输出能控性

1,线性定常离散系统的能控性 对于n阶线性定常离散系统 x(k+1)=Ax(k)+Bu(k);x(0)=x 若存在有限个输入向量序列能将某个初始状态在第步控制到 零状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则 称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。 由上式描述的线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件 是能控性矩阵 W、=[BAB…·A"B] 行满秩。 例7.1 例7.2

1. 线性定常离散系统的能控性 0 x x u x x ( 1) ( ) ( ); (0) k A k B k + = + = 1 c [ ] n W B AB A B− = 对于n阶线性定常离散系统 若存在有限个输入向量序列能将某个初始状态在第l 步控制到 零状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则 称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。 由上式描述的线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件 是能控性矩阵 行满秩。 例7.1 例7.2

2,线性定常离散系统的能观性 对于线性定常离散系统 x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) 若已知输入序列和有限个采样瞬间测量到的输出序列，可以唯 一地确定出系统的任意初始状态，则称系统是状态能观测的，或简 称能观测。 由上式描述的线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条 件是能观测性矩阵 CA W。= 满秩。 例7.3

2. 线性定常离散系统的能观性 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) k C k k k A k B k y x Du x x u = + + = + −     =         o n 1 C CA W CA 对于线性定常离散系统 若已知输入序列和有限个采样瞬间测量到的输出序列，可以唯 一地确定出系统的任意初始状态，则称系统是状态能观测的，或简 称能观测。 由上式描述的线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条 件是能观测性矩阵 满秩。 例7.3

3.对偶原理 给定线性定常离散系统S1、S,的状态空间表达式分别为 x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) S y(k)=Cx(k)+Du(k) x(k+1)=A'x(k)+C'u(k) S2 y(k)=B'x(k)+Du(k) 设S(A,B,C)、S2(ATC”,B)是互为对偶的两个系统，则 S,的能控性等价于S,的能观测性；S的能观测性等价于S? 的能控性。或者说，若S,是状态完全能控的（完全能测观 的)，则S,是状态完全能观测的（完全能控的）

3. 对偶原理 给定线性定常离散系统S1、S2的状态空间表达式分别为 S1 S2 设S1=(A,B,C)、S2=(A T , CT , B T )是互为对偶的两个系统，则 S1的能控性等价于S2的能观测性；S1的能观测性等价于S2 的能控性。或者说，若S1是状态完全能控的(完全能测观 的)，则S2是状态完全能观测的(完全能控的)。 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) k C k D k k A k B k y x u x x u = + + = + ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) * * * * * * k B k D k k A k C k T T T y x u x x u = + + = +

4.系统状态能控性、能观性的 其它特性 非奇异相以变换不改变系统的能控性 非奇异变换不改变系统的能观性 离散系统状态能控性、能观性与脉冲传递函数的关系 ·单输入-单输出线性定常离散系统完全能控和完全能 观的充分必要条件是脉冲传递函数不存在着零、极点 相消。如果存在着零、极点相消，系统或者是不完全 能控，或者是不完全能观，或者既不完全能控又不完 全能观。 例7.4

4. 系统状态能控性、能观性的 其它特性 ✓ 非奇异相似变换不改变系统的能控性 ✓ 非奇异变换不改变系统的能观性 ✓ 离散系统状态能控性、能观性与脉冲传递函数的关系 • 单输入-单输出线性定常离散系统完全能控和完全能 观的充分必要条件是脉冲传递函数不存在着零、极点 相消。如果存在着零、极点相消，系统或者是不完全 能控，或者是不完全能观，或者既不完全能控又不完 全能观。 例7.4

5.输出能控性 对于n阶线性定常离散系统，输入向量为r维，输出向量为m维 x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) 若存在有限个输入向量序列能将系统输出从某个初始状态在第步控 制到任意最终输出，则称此系统是输出完全能控的，简称输出能控。 由上式描述的线性定常离散系统输出能控的充要条件是输出能控性 矩阵 W.=D CB CAB·CA"-B 行满秩

5. 输出能控性 对于n阶线性定常离散系统，输入向量为r维，输出向量为m维 若存在有限个输入向量序列能将系统输出从某个初始状态在第q步控 制到任意最终输出，则称此系统是输出完全能控的，简称输出能控。 由上式描述的线性定常离散系统输出能控的充要条件是输出能控性 矩阵 行满秩。 x(k +1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) =Cx(k) + Du(k) − =     1 s W D CB CAB CA B n