《固体物理学》课程教学资源（讲义）第三章 晶格振动与晶体的热学性质（3.10）晶格的状态方程和热膨胀

固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050228 §3.10晶格的状态方程和热膨胀 晶体的自由能函数:F(T,卩),根据P=-()x可以得到晶格的状态方程。 rF=-kThZ,Z=∑e--配分函数,对所有晶格的能级相加。 能级包含原子处于格点平衡位置时的平衡晶格能量U(V)和各格波的振动能∑(n+加 z=∑e=∏∑此 -he,/kgT -U/kgT e 2 ne /kgf 代入F=- k tlnz得到 F=U+kRT>U 26+ln(1-e-7 ) 当晶体体积Ⅴ改变时,格波的频率也要变化。 ∑(h 方 因此p 格临爱森近似计算 dU 1 dIno ho, t-he, /kg/=1v dInk REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050228 §3.10 晶格的状态方程和热膨胀 晶体的自由能函数： F(T,V )，根据 T V F p ( ) ∂ ∂ = − 可以得到晶格的状态方程。 F = −kBT ln Z ， ∑ —— 配分函数，对所有晶格的能级相加。 − = Ei kBT Z e / 能级包含原子处于格点平衡位置时的平衡晶格能量U(V )和各格波的振动能 ∑ + j n j =ω j ) 2 1 ( ∑ ∏ ∑∞ = − + + − = = j n U n k T E k T j j j B i B Z e e 0 ) ]/ 2 1 [ ( / =ω ∏ ∑ ∞ = − − − = j n n k T k T U k T j j j B j B B Z e e [ e ] 0 / ( / ) 2 1 / ω ω = = ∏ − − − − = j k T k T U k T j B j B B e Z e e ] 1 1 [ / ( / ) 2 1 / ω ω = = 代入 F = −kBT ln Z 得到 ∑ − = + + − j k T B j B j B e k T F U k T ln(1 )] 2 1 [ =ω =ω / 当晶体体积 V 改变时，格波的频率也要变化。 因此 T V F p ( ) ∂ ∂ = − ， ∑ − = − − + − j j k T dV d dV e dU p j B ω ω ) 2 1 1 ( = / = = 格临爱森近似计算 ∑ − = − − + − j j k T j j d V d dV e V dU p j B ln 1 ln ) 2 1 1 ( / ω ω ω =ω = = REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH

固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050228 dIno 假定y= 对所有的振动相同 格临爱森常数 dInk 晶格的平均振动能:E=∑(Mo,+-mM_) du E +y-—晶体的状态方程 晶体的热膨胀 晶体在p=0下,体积随温度的变化:E 原子在平衡位置作微小振动,热膨胀较小,可以按泰勒级数展开 d=a)+()4V+…保留至第二项第-顶为零( dudu d%4≈、ENV= d-u hpv dv 静止晶格的体变模量 热膨胀系数a=1yC 格临爱森定律 dTV REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050228 假定 d V d j ln lnω γ = − 对所有的振动相同 —— 格临爱森常数 晶格的平均振动能： ∑ − = + − j k T j j j B e E ) 2 1 1 ( ω / ω ω = = = V E dV dU p = − +γ —— 晶体的状态方程 晶体的热膨胀 晶体在 p = 0下，体积随温度的变化： V E dV dU = γ 原子在平衡位置作微小振动，热膨胀 V0 ∆V 较小，可以按泰勒级数展开 = + ∆V +" dV d U dV dU dV dU V0 V0 ( ) ( ) 2 2 保留至第二项，第一项为零，( ) 0 0 V = dV dU 。 V E V dV d U V ∆ = γ 0 ( ) 2 2 ， ( ) ( ) 2 0 2 0 0 V E dV d U V V V V γ = ∆ 0 ( ) 2 2 0 0 V dV d U K =V —— 静止晶格的体变模量 热膨胀系数 V C dT V K dV V 0 0 1 γ α = = —— 格临爱森定律 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH