《Mathcad 2001在数学中的应用》实验32 用待定系数法求插值多项式

实验32用待定系数法求插值多项式 求通过指定的几个点的多项式方程 以下仅对三次和四次多项式的情况进行讨论 我们知道对给定的点D=(x1y1),E=(x2,y2)和F=(x3y3),求出拟合它们的函数 p(x)=ax2+bx+c的系数是非常麻烦的。求解这个问题需要解下列的线性方程组 axl+bxl+cxl =y1 ax2 + b x2 +Cx2 =y2 ax3+bx3+Cx3=y3 此问题徒手来做也是很容易,但是如果我们给定四个点或者给定六个点来拟合三次 或五次多项式便没有那么容易了.我们使用 Mathcad的求解模块来解决这个问题 定义数据点向量,x代表点的横坐标,y代表点的纵坐标: 4 这个点集看上去可以用三次多项式拟合,我们用函数c(x)=ax2+bx2+cx+d 建立方程组和求解模块为求解模块定义初始值: d:=1 Given d a()3+b()2+cx+d= (*3)+b(*3) + cx,+d=y

a x 3 ( ) 3 × b x 3 ( ) 2 + × c x 3 + × + d y 3 = a x 2 ( ) 3 × b x 2 ( ) 2 + × c x 2 + × + d y 2 = a x 1 ( ) 3 × b x 1 ( ) 2 + × c x 1 + × + d y 1 = a x 0 ( ) 3 × b x 0 ( ) 2 + × c x 0 + × + d y 0 = Given a := 1 b := 1 c := 1 d := 1 这个点集看上去可以用三次多项式拟合, 我们用函数 c(x) a x 3 × b x 2 = + × + c×x + d 建立方程组和求解模块. 为求解模块定义初始值: 0 1 2 3 4 5 5 10 y x y i := 0.. 3 1 5 2 9 æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø x := 1 2 3 4 æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø := 定义数据点向量, x代表点的横坐标, y代表点的纵坐标: 此问题徒手来做也是很容易, 但是如果我们给定四个点或者给定六个点来拟合三次 或五次多项式便没有那么容易了. 我们使用Mathcad的求解模块来解决这个问题. a×x3 + b×x3 + c×x3 =y3 a×x2 + b×x2 + c×x2 =y2 a×x1 + b×x1 + c×x1 =y1 以下仅对三次和四次多项式的情况进行讨论. 我们知道, 对给定的点D=(x1,y1), E=(x2,y2) 和 F=(x3,y3), 求出拟合它们的函数 p(x) a x 2 = × + b×x + c 的系数是非常麻烦的。求解这个问题需要解下列的线性方程组: 求通过指定的几个点的多项式方程 实验32 用待定系数法求插值多项式 1

P: Find(a, b, c, d) 2.833 P就是拟合的三次多项式的系数组成的矩阵 45.667 C(x)=P0x2+P1x2+P2x+P3做出拟合曲线的图形 The figure of C(x)and points C 作为进一步的练习,我们再来拟合一个四次多项式:数据点向量为: 02357 给定初始值 A:=0B:=0C:=0D:=0E:=0 Given +dx+e (x)+B()+C( 1)+D.x,+E= A()+B(3)2+c( +Dx、+E= A()+B(3)+c(y E )+B()3+c( m: Find(A, B, C, D, e)

m := Find(A,B,C,D,E) A x 4 ( ) 4 × B x 4 ( ) 3 + × C x 4 ( ) 2 + × D x 4 + × + E y 4 = A x 3 ( ) 4 × B x 3 ( ) 3 + × C x 3 ( ) 2 + × D x 3 + × + E y 3 = A x 2 ( ) 4 × B x 2 ( ) 3 + × C x 2 ( ) 2 + × D x 2 + × + E y 2 = A x 1 ( ) 4 × B x 1 ( ) 3 + × C x 1 ( ) 2 + × D x 1 + × + E y 1 = A x 0 ( ) 4 × B x 0 ( ) 3 + × C x 0 ( ) 2 + × D x 0 + × + E y 0 = Given 给定初始值 A := 0 B := 0 C := 0 D := 0 E := 0 y j := 0.. 4 6 12 2 5 -1 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø x := 0 2 3 5 7 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø := 作为进一步的练习, 我们再来拟合一个四次多项式 :数据点向量为: 0 1 2 3 4 5 20 10 10 20 The figure of C(x) and points yi C(z) xi , z C(x) P 做出拟合曲线的图形. 0 x 3 × P 1 x 2 + × P 2 + ×x P 3 := + 令: P P就是拟合的三次多项式的系数组成的矩阵. 2.833 -20.5 45.667 -27 æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø = P := Find(a,b, c,d) 2

0.375 5.383 m=-24.25 32.717 p(x): =mx+m, x+m,x+m, x+m 数据点及p(x)的图形 口口口 p(t) 10

m -0.375 5.383 -24.125 32.717 6 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = p(x) m0 x 4 × m1 x 3 + × m2 x 2 + × m3 + ×x m4 := + 0 2 4 6 8 10 20 数据点及p(x)的图形 y p(t) x, t 3