中国科学技术大学：《固体物理》课程教学资源（课件讲稿）第五章 能带论 Energy Band 5.5 克勒尼希-彭尼（Kronig-Penny）模型、5.6 能带结构的计算方法

5.5克勒尼希-彭尼(Kronig-Penny)模型： 我们从近自由电子近似(NFE)和紧束缚近似(TB) 两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即：晶体中 电子的能级形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验 结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势，求解 具体Schrodinger方程的尝试从没有停止过，最早的一个 模型是1931年Kronig-Penney一维方形势场模型，它可 以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的 粒子允许能级形成能带，能带之间是禁带的结论，但这是 一维周期势场，还不能算是真正的尝试。不过近来却常使 用Kronig-Penney势讨论超晶格的能带。 见： Kittel8版7.3节p119:7.4.4节p124 方俊鑫书5.6节p204; 冯端《凝聚态物理学》5.2.4节p150

我们从近自由电子近似（NFE）和紧束缚近似（TB） 两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即：晶体中 电子的能级形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验 结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势,求解 具体 Schrodinger 方程的尝试从没有停止过，最早的一个 模型是 1931年 Kronig-Penney 一维方形势场模型，它可 以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的 粒子允许能级形成能带，能带之间是禁带的结论，但这是 一维周期势场，还不能算是真正的尝试。不过近来却常使 用 Kronig-Penney 势讨论超晶格的能带。 5.5 克勒尼希-彭尼（Kronig-Penny） 模型： 见： Kittel 8版 7.3节 p119；7.4.4节p124 方俊鑫 书5.6节 p204; 冯端《凝聚态物理学》5.2.4节p150

在两种近似之间的区域的真实情况如何？是我们关心的。金属中 的价电子既不像自由电子那样自由，也不像孤立原子中的电子。 的情况 真实晶体 Nearly free Free Electrons Electrons Infinite Large Spacing Spacing (free atoms) (tight binding) (r/a）0 (m/a)0 (z/a)0 (n/a）0 (mia) Reduced Wave Vector Figure 3-28 A one-dimensional visualization of the dependence of energy on wave-vector for electron states as the coupling between adjacent atoms varies from zero (atoms infinitely separated)to the total abolition of interatomic barriers. 见Blakemore:Solid State Physics P214,该书也有关于Kronig-Penney模型的叙述

在两种近似之间的区域的真实情况如何？是我们关心的。金属中 的价电子既不像自由电子那样自由，也不像孤立原子中的电子。 ? 真 实 晶 体 的 情 况 见Blakemore:Solid State Physics P214,该书也有关于Kronig-Penney模型的叙述

U(x) Uo -(a+b)-b 0 aa+b x 1931年Kronig-Penney一维方形势场是最早提出的周期势 场模型，它由方型势阱势垒周期排列而成。势阱宽α，势垒宽b, 因此晶体势的周期是：a+b=c,势垒的高度是：U。 其解应具有Bloch函数形式： w(x)=eu(x) 代入一维Schrodinger方程： +(5-w=0 d2 -b≤x<0 dx2 dw .3 dx2 2m Ew =0 2 0<x<a

1931年 Kronig-Penney 一维方形势场是最早提出的周期势 场模型，它由方型势阱势垒周期排列而成。势阱宽 a ,势垒宽 b, 因此晶体势的周期是：a + b = c ,势垒的高度是： 其解应具有Bloch 函数形式： U x( ) U0 ( ) ( ) ik x y x e u x × = 代入一维Schrödinger方程： ( ) 2 2 2 0 2 2 2 d 2 0 d d 2 0 d m E U x m E x y y y y + - = + = h h -b x < < 0 0 < < x a

1.在区域0<x<a:U,=0 2e+[-)-0 dx2 dx 令： 2mE = h2 +2a-a0 dx2 这是一个二阶常系数微分方程，它的解为： u(x)=Aea-k)*+Be-iatk) w(x)=Aeiax+Be-icx 其中A,B都是任意常数。这个区域内的本征函数是向右 和向左行进的平面波的线性组合。而能量： E= h2a2 2m

1. 在区域 0 < < x a ： 0 U = 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d d 2 2 0 d d u x u x m ik E k u x x x é ù + + - = ê ú ë û h 令： 2 2 2mE = a h ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d d 2 0 d d u x u x ik k u x x x + + é ù a - = ë û 这是一个二阶常系数微分方程，它的解为： ( ) i( k )x i( k x) u x Ae Be a a - - + = + 其中A,B都是任意常数。这个区域内的本征函数是向右 和向左行进的平面波的线性组合。而能量： 2 2 2 E m a = h ( ) i x i x x Ae Be a a y × - × = +

2.在区域：-b<x<0 tem+-)o0 dx2 E<Uo g--)-2m心- -2a-[g]a(=o dx2 其解： u(x)=Ce(-)+De-(+) 所以有： w(x)=Ceax+De-Bx 同样C,D都是任意常数。 U。-E= h2B2 2m

2. 在区域： -b x < < 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 d d 2 2 0 d d u x u x m ik E U k u x x x é ù + + - - = ê ú ë û h ( ) 2 2 0 2 2 0 2 2 m mU b a = U E - = - h h E U< 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d d 2 0 d d u x u x ik k u x x x + - é ù b + = ë û 其解： ( ) ( ik )x ( ik x) u x Ce De b b - - + = + 同样C,D都是任意常数。 ( ) x x x Ce De b b y - = + 2 2 0 2 U E m b - = h 所以有：

dΨ 对整个系统而言，两个区域的波函数 dx 在X=0,x=a处应是连续的，这就需要对A、B、C、D四 个系数做选择。 在X=0处有：A+B=C+D ia(A-B)=B(C-D) 在x=a处有：Aem+Be=(Ceb+Deb）eaa ia(Aeaa-Bea）=B(Ceb-De）eaa+ 只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解： 求解从略。为了简化这个结果，我们取极限情形进行讨 论，可以发现在Brillouin区边界处出现能隙

对整个系统而言，两个区域的波函数 在 x = 0, x = a 处应是连续的，这就需要对 A、B、C、D 四 个系数做选择。 d , dx y y 在 x = 0 处有： ( ) ( ) A B C D ia b A B C D + = + - = - 在 x = a 处有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i a i a b b i a b i a i a b b i a b Ae Be Ce De e i Ae Be Ce De e a a b b a a a b b a a b - - + - - + + = + - = - 只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解： 求解从略。为了简化这个结果，我们取极限情形进行讨 论，可以发现在Brillouin区边界处出现能隙

20 Blakemore书也介绍了这个模型， p213给出了p=2的结果。 15 (:/zu)/ 10 2π 3界 ka 图6在克勒尼希一彭尼势场中的 能量关于被数的关系曲线，其中P= 3π/2。请注意在ka=x,2π，3x,… x2 处出现的能隙。 见Kittel8版p121 -a a Reduced Wave Vector k Figure 3-27 A reduced-zone representation of energy versus wave-vector for the Kronig-Penney model when P=2(as was chosen in Figure 3-26).The corresponding curves for P =0(free electrons)are shown as dashed curves

见 Kittel 8版 p121 Blakemore 书也介绍了这个模型， p213 给出了p=2 的结果

Kronig-Penney一维方形势场模型有着重要意义，首先 它是第一个可以严格求解的模型，证实了周期场中的电子可 以占据的能级形成能带，能带之间存在禁带。其次，这个模 型有多方面的适应性，经过适当修正可以用来讨论表面态， 合金能带以及超晶格的能带问题。 冯端等《凝聚态物理学》就利用Kronig-Penney模型讨 论了超晶格问题。 见冯端等《凝聚态物理学》5.2.4节p150 U(5)-V(5) -nla -元/dπ/d πlak 图5.2.7超晶格的Brillouin区折叠

Kronig-Penney 一维方形势场模型有着重要意义，首先 它是第一个可以严格求解的模型，证实了周期场中的电子可 以占据的能级形成能带，能带之间存在禁带。其次，这个模 型有多方面的适应性，经过适当修正可以用来讨论表面态， 合金能带以及超晶格的能带问题。 冯端等《凝聚态物理学》就利用Kronig-Penney 模型讨 论了超晶格问题。 见冯端等《凝聚态物理学》5.2.4节p150 U V (x x ) - ( )

5.6能带结构的计算方法： 显然，NFE和TBA用于计算可以与实验结果比较的实际 能带是太粗糙了。已经发展了许多计算实际晶体能带的模型 和方法，这些方法既需要比较深的量子力学基础，又需要大 量繁琐的数学运算。近代的能带计算多使用大型计算机，采 用建立在密度泛函理论基础上的局域密度近似，但早期的几 个模型均可用来做密度泛函计算，所以这里我们简要的定性 地介绍一些曾获得一定成功的模型和方法。 参见：阎守胜《固体物理基础》3.4节； 李正中《固体理论》7章； Ashcroft《Solid State Physics》11章 冯端《凝聚态物理学》上册12章 Kittel8版9.3节p163-169

显然，NFE和TBA用于计算可以与实验结果比较的实际 能带是太粗糙了。已经发展了许多计算实际晶体能带的模型 和方法，这些方法既需要比较深的量子力学基础，又需要大 量繁琐的数学运算。近代的能带计算多使用大型计算机，采 用建立在密度泛函理论基础上的局域密度近似，但早期的几 个模型均可用来做密度泛函计算，所以这里我们简要的定性 地介绍一些曾获得一定成功的模型和方法。 5.6 能带结构的计算方法： 参见：阎守胜《固体物理基础》3.4节; 李正中《固体理论》7章; Ashcroft《Solid State Physics》11章 冯端《凝聚态物理学》上册12章 Kittel 8版 9.3节p163-169

一.原胞法(Cellular Method)Wigner-Seitz1933 二.缀加（增广）平面波法(Augemented Plane Wave Method Slater 1937 三.格林函数法(Korring1947,Kohn Rostoker1954) 四.正交平面波法(Orthogonalized Plane Wave Method) Herring 1940 五.赝势法(Pseudopotentials)Harrison1966 六.密度泛函理论(The density-function theory) Wolter kohn 1960

一. 原胞法（ Cellular Method）Wigner-Seitz 1933 二.缀加（增广）平面波法（Augemented Plane Wave Method ）Slater 1937 三. 格林函数法 (Korring1947,Kohn Rostoker 1954) 四. 正交平面波法（Orthogonalized Plane Wave Method ） Herring 1940 五. 赝势法（Pseudopotentials） Harrison 1966 六. 密度泛函理论（The density-function theory） Wolter kohn 1960