中国科学技术大学：《固体物理》课程教学资源（课件讲稿）第六章 晶体中的电子在外场下的运动 The semiclassical theory of electron dynamics（6.1-6.3）

6.1晶体中电子的运动特征： Bloch电子的准经典描述 二.波包与电子速度 三.电子的准动量 四.电子的加速度和有效质量 见黄昆书5.1节p237 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动的本征态和 本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问 题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和 本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完 全不同于自由电子，我们称之为Bloch电子。首先分析一 下它和自由电子的区别及其一般特征

6.1 晶体中电子的运动特征： 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动的本征态和 本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问 题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和 本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完 全不同于自由电子，我们称之为 Bloch 电子。首先分析一 下它和自由电子的区别及其一般特征。 一. Bloch 电子的准经典描述 二. 波包与电子速度 三. 电子的准动量 四. 电子的加速度和有效质量 见黄昆书5.1节p237

一.Bloch电子的准经典描述： 当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中 的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体 周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得 多。因为晶体周期场强度一般相当于108Vcm。而外电场 是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的 运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法 有两种： ◆求解含外场的单电子波动方程。 ◆ 或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动 当作准经典粒子来处理。 注解：例如氢原子的基态能（电离能)为13.6eV

一. Bloch 电子的准经典描述： 当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中 的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体 周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得 多。因为晶体周期场强度一般相当于 108 V/cm。而外电场 是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的 运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法 有两种： u 求解含外场的单电子波动方程。 u 或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动 当作准经典粒子来处理。 注解：例如氢原子的基态能（电离能）为 13.6 eV

含外场的波动方程 [r+0rv-m 通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。 另一种方法是在： 外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。 等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子 来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用

通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。 ( ) 2 2 2 U V E m y y é ù - Ñ + + = ê ú ë û h r 含外场的波动方程 外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。 另一种方法是在： 等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子 来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用

经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学 运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描 述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来代 表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在“，附近的 △r范围内，动量取值在k,附近的△k范围内，△r△k满 足测不准关系。把波包中心r。看作该粒子的位置，把k。看 作该粒子的动量。 晶体中的电子，可以用其本征函数Bloch波组成波包， 从而当作准经典粒子来处理

经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学 运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描 述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来代 表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在 r0 附近的 △r 范围内，动量取值在 附近的 范围内， 满 足测不准关系。把波包中心 r0 看作该粒子的位置，把 看 作该粒子的动量。 晶体中的电子，可以用其本征函数 Bloch波组成波包， 从而当作准经典粒子来处理。 0 hk hDk D Dr k 0 hk

二.波包与电子速度： 在晶体中，电子的准经典运动可以用Bloch函 数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本 征态，因此，必须用含时间因子的Bloch函数。 首先考虑于一维情况。设波包由以k为中心， 在△k的范围内的波函数组成，并假设△k很小，可 近似认为 4,(x)≈4(x) 不随k而变。 对于一确定的k,含时间的Bloch函数为 w(x,）=e-ol4,(x) (k)=E(k)/h 把与k,相邻近的各k'状态叠加起来就可以组成 与量子态k,相对应的波包：

二. 波包与电子速度： 在晶体中，电子的准经典运动可以用 Bloch 函 数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本 征态，因此，必须用含时间因子的Bloch 函数。 首先考虑于一维情况。设波包由以 k0为中心， 在 Dk 的范围内的波函数组成，并假设 Dk 很小，可 近似认为 ( ) ( ) 0 k k u x » u x 不随 k 而变。 对于一确定的 k ，含时间的Bloch函数为 ( ) ( ) , ( ) i kx t k k x t e u x w y - = w (k ) = E k( )/ h 把与 k0 相邻近的各 k’ 状态叠加起来就可以组成 与量子态 k0 相对应的波包：

tu平(x.-e-u()iko0间 4(小eak 令为=k+5e0@服 e0-aaa四-l =4(x)ek 2sin{[x-(架)人] x-(架)

波包 ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 , d k k k i kx t k k x t e u x k w D D + - - Y = ò ( ) ( ) 0 2 0 0 2 d k k k i kx t k k u x e k w D D + - - » ò 令 0 k k = + x ( ) 0 0 d d k k k w w w x æ ö » + ç ÷ è ø ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 d , exp d d k k i k x t k k x t u x e i x t k w w x x D D - - ì ü ï ï é ù æ ö Y = - í ý ê ú ç ÷ ï ï ê ú è ø î þ ë û ò ( ) ( ) { ( ) } ( ) 0 0 0 0 0 2 2sin k i k x t k k k d dk d dk x t u x e x t w w w - D é ù - ë û = × - ( ) ( ) 0 k k u x » u x

为分析波包的运动，只需分析平2，即几率分布即可。 (w) sinw 竖w 波函数集中在尺度为 2 的范围内， △k 波包中心为：w=0。 2兀 0 2π W △K △k

为分析波包的运动，只需分析 êYï2 ，即几率分布即可。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 d 2 d d 2 d sin , k k k k k k k x t x t u x k x t w w D D ì ü é ù - ï ï ë û Y = D í ý ï ï é ù - î þ ë û 令 0 d d k w x t k æ ö w = - ç ÷ è ø 2 w k p D 2 k p - D 0 2 2 2 sin k k w w D D 波函数集中在尺度为 的范围内， 波包中心为：w＝0。 2 k p D

do 有 x= dk )ko dk )ko E(k)=ho(k) 若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为 ) 布里渊区的宽度：2π/，而假设△k很小，一般要求 .2π 即 2元 △k>a a △k 推广到三维情况，电子速度为 V= VE 抗

有 0 0 d 1 d d d k k E x t t k k æ w ö æ ö = = ç ÷ ç ÷ è ø h è ø 若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为 ( ) 0 0 d 1 d d d k x E v k t k æ ö = = ç ÷ h è ø E(k k ) = hw ( ) 布里渊区的宽度：2p/a ，而假设 Dk 很小，一般要求 即 推广到三维情况，电子速度为 1 = Ñ E h k v a k 2p D > D 2p

注意，这里给出了把B引och波当作准经典粒子处理的条件。 由于B引och波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k 应是一个很小的量。B引och波有独立物理意义的波矢被限制 在第一布里渊区内，△k>a 这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的 运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有 当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体 中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度)等于 处于波包中心处粒子所具有的平均速度

注意，这里给出了把 Bloch 波当作准经典粒子处理的条件。 由于Bloch 波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k 应是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制 在第一布里渊区内， 因为测不准关系 2 x x Dp ×Dx = Dk x ×D ³ h h a k 2p D > 这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的 运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有 当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体 中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于 处于波包中心处粒子所具有的平均速度

附录：更简明的说明： 量子力学告诉我们，晶体中处于业状态的电子，在经 典近似下，其平均速度相当于以k为中心的波包速度，而 波包的传播速度是群速度：，_ω(k) VE= ak 量子力学中的德布罗意关系：E=o 所以电子的平均速度： p= 1 aE(k ak

附录：更简明的说明： 量子力学告诉我们，晶体中处于 状态的电子，在经 典近似下，其平均速度相当于以 k0为中心的波包速度，而 波包的传播速度是群速度： 量子力学中的德布罗意关系： 所以电子的平均速度： ( ) g k v k ¶w = ¶ E = hw 1 E k( ) v k ¶ = h ¶ 0 yk