中国科学技术大学：《固体物理》课程教学资源（课件讲稿）第五章 能带论 Energy Band 5.1 周期场中单电子状态的一般特征、5.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似

第五章 能带理论 能带论是目前研究固体中的电子状态，说明固体性质最重 要的理论基础。它的出现是量子力学与量子统计在固体中应用 最直接、最重要的结果。能带论不但成功地解决了经典电子论 和Sommerfeld自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问 题，而且成为解释所有晶体性质（包括半导体、绝缘体等）的 理论基础。 固体物理中这个最重要的理论是一个青年人首先提出的， 1928年23岁的Bloch在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Vilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。 能带论虽比自由电子论有所严格，但依然是一个近似理论：

第五章 能带理论 能带论是目前研究固体中的电子状态，说明固体性质最重 要的理论基础。它的出现是量子力学与量子统计在固体中应用 最直接、最重要的结果。能带论不但成功地解决了经典电子论 和Sommerfeld自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问 题，而且成为解释所有晶体性质（包括半导体、绝缘体等）的 理论基础。 固体物理中这个最重要的理论是一个青年人首先提出的， 1928年 23岁的 Bloch 在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。 能带论虽比自由电子论有所严格，但依然是一个近似理论

假定在体积V=L3中有N个带正电荷Z的离子实，相应地 有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为： 2产 方2 2M 名证品 1 Ze =To+Uce(F)+T +Um(R2 Rm)+Uen(,R) 哈密顿量中有5部分组成，前两项为Z电子的动能和电子 之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑 相互作用能，第五项为电子与离子实之间的相互作用能。 体系的薛定谔方程：庄w(下，)=Vy(行，R)

2 2 2 2 2 1 , 1 0 2 2 , 0 0 1 1 1 1 ˆ ' 2 2 4 2 1 1 ( ) 1 ' 2 4 4 ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) NZ N i n i i j n i j NZ N m n n m i n i n e ee i j n nm n m en i n e H m M r r Ze Ze R R r R T U r r T U R R U r R pe pe pe = = = = = - Ñ + - Ñ - + - - - = + + + + å å å å åå h h v v v v v v v v v v v v 假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应地 有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为: 哈密顿量中有 5 部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子 之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑 相互作用能,第五项为电子与离子实之间的相互作用能。 体系的薛定谔方程： ( , ) ( , ) H ˆ r R r R r v r v y = ey

但这是一个10cm3量级的非常复杂多体问题. 不做简化处理根本不可能求解。 首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子 运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为 离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响。最简 单的处理就是取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多 体问题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为： i=i。+Ue(,f）+Un(,Rn) 多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在 起，这样的系统仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其 余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均 场，即平均场近似： NZ Ue(,)=-

但这是一个 量级的非常复杂多体问题. 不做简化处理根本不可能求解。 首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子 运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为 离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响。最简 单的处理就是取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多 体问题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为： ( , ) ( , ) ˆ ˆ e ee i j en i Rn H T U r r U r v v v v = + + 多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在一 起，这样的系统仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其 余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均 场，即平均场近似： 2 ' , 1 0 1 1 ( , ) ( ) 2 4 NZ NZ ee i j e i i j i i j e U r r u r pe r r = = - = - å å v v v v v 23 3 10 cm-

系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和： 因此可以用分离变量法单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为： U()=4,()-∑， Ze2 4πoF-Rnm 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似)： U(F+R,)=U(F)

å å = = ú ú û ù ê ê ë é - = - Ñ + - NZ i N n i m i e i r R Ze u r m H 1 1 2 0 2 2 4 1 ( ) 2 ˆ v v h v pe 系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和： 因此可以用分离变量法单个电子独立求解（单电子近似） 。 单电子所受的势场为： å - = - Rn m e r R Ze U r u r v v v v 2 0 4 1 ( ) ( ) pe 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r R ) U (r) n v v v + =

平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电 子问题，单电子薛定谔方程为： 点r-u00w 其中： U(+R,)=U(F) 这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题

平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电 子问题，单电子薛定谔方程为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U r r E r m y y é ù - Ñ + = ê ú ë û h U (r R ) U (r) n v v v 其中： + = 这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题

从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的： Born一Oppenheimer绝热近似： Hatree一Fock平均场近似 周期场近似(Periodic potential approximation): 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每 个电子的运动都可以单独考虑。 所以，能带论是单电子近似的理论。尽管能带论经常 处理的是多电子问题，但是，多电子是填充在由单电子处 理得到的能带上。可以这样做的原因就在于单电子近似， 即每个电子可以单独处理。用这种方法求出的电子能量状 态将不再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分 （允带)和禁止填充的部分（禁带）相间组成的能带，所 以这种理论称为能带论

从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的： Born－Oppenheimer 绝热近似： Hatree－Fock 平均场近似 周期场近似(Periodic potential approximation)： 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每 个电子的运动都可以单独考虑。 所以，能带论是单电子近似的理论。尽管能带论经常 处理的是多电子问题，但是，多电子是填充在由单电子处 理得到的能带上。可以这样做的原因就在于单电子近似， 即每个电子可以单独处理。用这种方法求出的电子能量状 态将不再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分 （允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成的能带，所 以这种理论称为能带论

固体中电子能级形成能带的定性说明：（见0mar书p194) 从原子(a)到分子(b),再到固体(c)其能谱的演变 原子 分子 固体 2 25 ( 求解自由锂原子的薛定鄂方程，得到一系列分立的能级，而 锂分子得到能谱由一组分立的双线构成，是相互作用使二重 简并消除的结果。可以想像在N个原子组成的固体里，每一 个原子能级都分裂为间隔很近的N个支能级，由于N之数值 之大，可以认为各支能级紧连在一起，形成能带。 能带一般宽约5eV,支能级间隙：0=5x105cV

固体中电子能级形成能带的定性说明：（见Omar 书p194） 从原子（a）到分子（b），再到固体（c）其能谱的演变 求解自由锂原子的薛定鄂方程，得到一系列分立的能级，而 锂分子得到能谱由一组分立的双线构成，是相互作用使二重 简并消除的结果。可以想像在 N 个原子组成的固体里，每一 个原子能级都分裂为间隔很近的 N 个支能级，由于 N 之数值 之大，可以认为各支能级紧连在一起，形成能带。 能带一般宽约 5eV，支能级间隙： 23 23 5 5 10 eV 10 - = ´

需要指出的是： 在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得到简化，从而使理论计算得以顺利 进行。所以，传统固体物理一直以晶态固体为主要研究对象。 然而，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已 证实，在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子 之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶 态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成 能带的必要条件，只是给我们的理论计算带来方便，使我们找 到一个捷径、一个突破口，首先解释了晶体问题

需要指出的是： 在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得到简化，从而使理论计算得以顺利 进行。所以，传统固体物理一直以晶态固体为主要研究对象。 然而，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已 证实，在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子 之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶 态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成 能带的必要条件， 只是给我们的理论计算带来方便，使我们找 到一个捷径、一个突破口，首先解释了晶体问题

5.1周期场中单电子状态的一般特征： 一.Bloch定理 二.关于k取值和意义的几点讨论： 三.Bloch函数的性质 黄昆书4.1节p154-157 虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场的形式和强弱也是不同的，需要针对具 体问题才能进行求解。Bloch首先讨论了在晶体周期场中 运动的单电子波函数应具有的形式，给出了周期场中单电 子状态的一般特征，这对于理解晶体中的电子，求解具体 问题有着指导意义

5.1 周期场中单电子状态的一般特征： 虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场的形式和强弱也是不同的，需要针对具 体问题才能进行求解。Bloch首先讨论了在晶体周期场中 运动的单电子波函数应具有的形式，给出了周期场中单电 子状态的一般特征，这对于理解晶体中的电子，求解具体 问题有着指导意义。 黄昆 书 4.1节 p154-157 一.Bloch 定理 二.关于 k 取值和意义的几点讨论： 三. Bloch函数的性质

当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是 解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之 间。…经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地 发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一 种周期性调制就可以获得。 F Bloch 一.Bloch定理 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其它电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型

一. Bloch定理 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其它电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。 当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是 解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之 间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地 发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一 种周期性调制就可以获得。 ——F Bloch