《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）1.3 克拉默（Cramer）法则

§1.3克拉默( Cramer)法则 定理1.1(克拉默法则)如果线性方程组 aux,+. 22 …+a1nX a2ix + a22x2+,,+a2nXn=b, (18) Cnx1+a,xX2+…+axn= b n n 的系数行列式

§1.3 克拉默（Cramer）法则 定理1.1（克拉默法则） 如果线性方程组 的系数行列式 (1.8) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     

12 D 22 2 "|≠0 n2 nn 那么方程组(1.8)有惟一解,且解可表示为 0、s D D 其中D1,D2,…,Dn分别是以常数b,b2,…,bn代替D 中 第1列,第2列,…,第n列而得到的n阶行列式(证 明略去)

那么方程组(1.8)有惟一解，且解可表示为 其中D1,D2, ···,Dn 分别是以常数 b1,b2,···,bn 代替D 中 第1列，第2列，···，第 n 列而得到的 n 阶行列式 (证 明略去) . 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =  n n n n n n a a a a a a a a a D       . , , , , 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = =  n =

当线性方程组(1.8)右端常数项b,b,…,b2 不全为0时,称为非齐次线性方程组;当b1=b2 bn=0时,称为齐次线性方程组 推论1如果齐次线性方程组 X+aux 122 +∴+a1x.=0 1"n a1,x1+axn+…+a2x.=0 nn (1.9 n22+ +a.x.=0 nn n 的系数行列式D≠0,则它只有惟一的零解

当线性方程组（1.8）右端常数项b1,b2,···,bn 不全为 0 时，称为非齐次线性方程组；当b1=b2 = ···= bn=0 时，称为齐次线性方程组. 推论1 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D≠ 0,则它只有惟一的零解. (1.9) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1        + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x       

推论2若齐次线性方程组(1.9)有非零解 则它的系数行列式D=0. 例1解线性方程组 x1+x2+x3-x4=2 x1+x2-x3+x4=4 x+x,+x1=6 x,+x+x2+x1=8 解因为该方程组的个数与未知数个数相等, 且方程组的系数行列式

推论2 若齐次线性方程组(1.9 )有非零解， 则它的系数行列式 D = 0. 例1 解线性方程组 解 因为该方程组的个数与未知数个数相等， 且方程组的系数行列式        − + + + = − + + = + − + = + + − = 8 6 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x

l1022O 0202 D O022 22O 202 16≠0 O22 所以方程组有惟一解,又因为 16,12-1611 32. 18

16 0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 1 1 1 1 0 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = −  − = − − − − D = 所以方程组有惟一解，又因为 32, 1 8 1 1 1 6 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 16, 8 1 1 1 6 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 1 1 2 = − − − − = − = − − − D = D

2468 48,D4 64 1118 故得 x D D D D 例2问k取何值时,方程组有非零解. k x1+x2+x3=0 tk 0 2x1-x,+x2=0

64. 1 1 1 8 1 1 1 6 1 1 1 4 1 1 1 2 48, 1 1 8 1 1 1 6 1 1 1 4 1 1 1 2 1 3 4 = − − − − = − = − − − D = D 故得 例2 问 k 取何值时，方程组有非零解. 1 2 3 4 1 2 3 4 1, 2, 3, 4. D D D D x x x x D D D D = = = = = = = =      − + = + − = + + = 2 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x k x x k x x x

解若方程组有非零解存在,则系数 行列式一定等于零,即 k D=1k-1=k2-3k-4=(k-4)k+1)=0 解得k1=-1,k24.所以当k=-1,4时,方程组有非 零解. 注意:克拉默法则适用的条件 (1)方程组的方程个数与未知量个数必须相等; (2)方程组的系数行列式不等于零

解 若方程组有非零解存在，则系数 行列式一定等于零,即 解得 k1=-1,k2=4.所以当 k =-1,4时,方程组有非 零解. 注意：克拉默法则适用的条件 （1）方程组的方程个数与未知量个数必须相等； （2）方程组的系数行列式不等于零. 3 4 ( 4)( 1) 0 2 1 1 1 1 1 1 2 = − − = − + = − = k − k k k k k D