《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）8.3 影子价格及其应用

§83影子价格及其应用 影子价格概念 “影子价格”又称“预测价格”或“计算价格”等, 它是 经济学中一个重要概念.下面我们通过例子来介绍这个 概念及其应用. 考虑61节中例子 设x12x2x32x4分别为甲,乙,丙,丁四种肥料的用量, 那么问题的数学模型为

§8.3 影子价格及其应用 一、影子价格概念 “影子价格”又称“预测价格”或“计算价格”等, 它是 经济学中一个重要概念.下面我们通过例子来介绍这个 概念及其应用. 考虑 6.1节中例子 设x1 , x2 , x3 , x4分别为甲,乙,丙,丁四种肥料的用量， 那么问题的数学模型为

minS=0.04x1+0.15x2+0.1x3+0.13x4 0.03x1+0.3x2+0.15x4≥32 0.05x1+0.2x3+0.1x4≥24 0.14x1+0.07xA≥42 x;≥0(j=1,2,3,4 它的对偶 问题为 maxz=32y1+24y2+42y3 0.03y;+0.05y,+0.14 J3≤0.04 031≤0.15 0.2y2≤0.1 0.15y1+0.1y2+0.07y3≤0.13 y12y2,y3≥0

它的对偶 问题为           + +    + +   = + +         = +  + +  + +   = + + + , , 0 0.15 0.1 0.07 0.13 0.2 0.1 0.3 0.15 0.03 0.05 0.14 0.04 max 32 24 42 0 ( 1,2,3,4) 0.14 0.07 42 0.05 0.2 0.1 24 0.03 0.3 0.15 32 min 0.04 0.15 0.1 0.13 1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 4 s t s t y y y y y y y y y y y z y y y x j x x x x x x x x S x x x x j

运用对偶单纯形法可求得原始问题的最优解为 x1=480,x2=176/3,x3=x0.最优值为Sm2=28 并且最优基B对应的单纯形矩阵为 000-0.005-0.5-0.5028 10 20 176 01-0.40.3 T(B) 0-200480 000.560.210-281252 由T(B)可得对偶问题的最优解为:y1=0.5,y2=0.5, y3=0,最优值zmax=28

运用对偶单纯形法可求得原始问题的最优解为: x1= 480, x2=176/3, x3=x4= 0 . 最优值为 Smin= 28. 并且,最优基B 对应的单纯形矩阵为 由 T(B)可得对偶问题的最优解为:y1= 0.5, y2= 0.5, y3= 0, 最优值 zmax= 28.               − − − − − − − = 0 0 0 56 0 21 0 2 8 1 25 2 1 0 4 2 0 20 0 480 3 176 2 0 3 10 0 1 0 4 0 3 0 0 0 0 005 0 5 0 5 0 28 . . . . . . . . . T(B)

这里的y1=0.5就是氮肥的影子价格 y2=0.5就是磷肥的影子价格 y3=0就是钾肥的影子价格 般地,我们称对偶问题的最优解为原始问题约 束条件的影子价格,简称影子价格

这里的 y1 = 0.5 就是氮肥的影子价格 y2 = 0.5 就是磷肥的影子价格 y3 = 0 就是钾肥的影子价格 一般地, 我们称对偶问题的最优解为原始问题约 束条件的影子价格,简称影子价格

、影子价格的意义 某一约束条件的影子价格表示当它所对应的约束 条件右端的常数增加一个单位时(假设原始问题最优 基不变)原始问题目标函数最优值增加的数值 这是因为根据定理84,互为对偶线性规划问题的 最优值相等即

二、影子价格的意义 某一约束条件的影子价格表示当它所对应的约束 条件右端的常数增加一个单位时 (假设原始问题最优 基不变) 原始问题目标函数最优值增加的数值 . 这是因为,根据定理8.4,互为对偶线性规划问题的 最优值相等 即:

s=CX=Yb=(i,y2,…,ym) yb1+y2b2+…+ynbn 若b的第一个分量b增加一个单位为b1+1时,原 始问题的最优值则变为 n:=(的+ y +yb=vi+s

若 b 的第一个分量b1增加一个单位为b1+1时, 原 始问题的最优值则变为 m m m m y b y b y b b b b y y y    = + + +               = = =    1 1 2 2 2 1 1 2 ( , , , ) * * * S C X Y b * * * * * = +Y b = + S = + + + +               +    * * * * * ( , , , ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 y y y b y b y b b b b y y y m m m m   

可见,原始问题第一个约束条件的影子价格y是 它对应的第一个约束条件右端常数项b增加一个单位时, 原始问题目标函数最优值增加的数值 其他影子价格的意义可以类似推导

可见, 原始问题第一个约束条件的影子价格 是 它对应的第一个约束条件右端常数项b1增加一个单位时, 原始问题目标函数最优值增加的数值. 其他影子价格的意义可以类似推导. * 1 y

上例中y=0.5的意义是:当氮的需要量增加1kg 时施肥成本要增加0.5元,y2=0.5的意义是:当磷的需 要量增加1kg时,施肥成本要增加0.5元,y2=0的意义 是:当钾肥需要量增加1kg时,施肥成本不增加

上例中 y1 = 0.5 的意义是: 当氮的需要量增加 1kg 时,施肥成本要增加0.5元, y2= 0.5 的意义是: 当磷的需 要量增加 1kg 时,施肥成本要增加0.5元, y3= 0 的意义 是: 当钾肥需要量增加 1kg 时, 施肥成本不增加

、影子价格在经济中的应用 影子价格能定量地反映资源的稀缺程度和供需矛 盾.长线资源的影子价格等于零,短线资源的影子价格 大于零资源的影子价格越高,表示资源稀缺程度越大 这就为企业决策者在经营活动中作出正确决策提供了 重要依据.因此影子价格在经济中有很广泛的应用

三、影子价格在经济中的应用 影子价格能定量地反映资源的稀缺程度和供需矛 盾. 长线资源的影子价格等于零，短线资源的影子价格 大于零.资源的影子价格越高，表示资源稀缺程度越大. 这就为 企业决策者在经营活动中作出正确决策提供了 重要依据. 因此影子价格在经济中有很广泛的应用

例1某工厂利用三种原料B1,B2,B3生产A1,42两 种产品,三种原料的供应量,两种产品的消耗量及利 润如下表所示: 单耗 产品「A1A2供应量吨 原料 150 BBB 240 23 3 32 300 单位产品的利润万元24 18

例1 某工厂利用三种原料 B1 ,B2 ,B3 生产A1 , A2两 种产品, 三种原料的供应量, 两种产品的消耗量及利 润如下表所示: A1 A2 供应量/吨 B1 B2 B3 1 1 2 3 3 2 150 240 300 单位产品的利润/万元 2.4 1.8 单耗 产品 原料