池州学院：《数学分析》第二章 数列极限

第二章数列极限 本章的教学目的及要求 1、正确掌握并理解数列极限的概念: 2、能够应用“ε-N”语言处理数列极限的一些问题 3、能运用定义、四则运算、两边夹、海因定理及单调有界性定理等,判别数列极限的 存在性:并熟练求出数列极限; 4、能够正确叙述和证明数列极限的唯一性、有界性、保号性、不等式性和柯西收敛准则 本章的基本教学内容 §1数列极限的概念 本节的教学目的及要求] 1、正确掌握并理解数列极限的概念 2、能够应用“E-N”语言处理数列极限的一些问题; 「本节的基本教学内容 1、数列极限的概念[注意从一串有顺序的数,过渡到值列函数的形式] 定义1称一串有顺序的数为数列若一串有顺序的数为 a1,a2…an…则记该数列为{an}m,其中an为通项 定义2若∫的定义域为N,则当自变量从小到大排列时,相应函数值的排列 f(1)f(2),…f(n)…称之为数列,记为{(m)}m1 注:当f(m)=an时,两定义一致 2、通过对数列的观察,得出收敛数列和不是收敛数列的概念 同时,还要得出收敛数列的特征:随着n的无限增大,an无限地接近某个数a,并 进一步分析收敛数列的特征 3、通过以上分析得出:当n充分大时,|pn-a可以任意小是收敛数列的本质,从而得 出收敛数列的精确定义:(E-N定义) 定义3对于数列{an},设a为常数,若对vE>0,3N,当n>N时,有1n-a<E 成立,则称{a}收敛于a,并称a为{an}的极限,记为a= lim a,或者

第二章 数列极限 本章的教学目的及要求 1、 正确掌握并理解数列极限的概念； 2、 能够应用“  − N ”语言处理数列极限的一些问题； 3、 能运用定义、四则运算、两边夹、海因定理及单调有界性定理等，判别数列极限的 存在性；并熟练求出数列极限； 4、 能够正确叙述和证明数列极限的唯一性、有界性、保号性、不等式性和柯西收敛准则 本章的基本教学内容 §1 数列极限的概念 [本节的教学目的及要求] 1、正确掌握并理解数列极限的概念； 2、能够应用“  − N ”语言处理数列极限的一些问题； [本节的基本教学内容] 1、 数列极限的概念[注意从一串有顺序的数，过渡到值列函数的形式] 定义 1 称一串有顺序的数为数列.若一串有顺序的数为： 1 2 , , , , , n a a a 则记该数列为  n n 1 a  = ，其中 n a 为通项. 定义 2 若 f 的定义域为 N+，则当自变量从小到大排列时，相应函数值的排列 f f f n (1), (2), , ( ), 称之为数列，记为   1 ( ) n f n  = . 注：当 ( ) n f n a = 时，两定义一致. 2、通过对数列的观察，得出收敛数列和不是收敛数列的概念. 同时，还要得出收敛数列的特征：随着 n 的无限增大， n a 无限地接近某个数 a，并 进一步分析收敛数列的特征. 3、通过以上分析得出：当 n 充分大时， n a a − 可以任意小是收敛数列的本质，从而得 出收敛数列的精确定义：（  − N 定义）. 定义 3 对于数列 an ，设 a 为常数，若对     0, , N 当 n N  时，有 n a a −   成立，则称 an 收敛于 a，并称 a 为 an 的极限，记为 lim n n a a → = ，或者

an→>a,(n→>∞) 4、举若干(3~5个)例子,来应用、运用定义求和验证数列的极限[参考教材上例2 例3、例4、例5 5、进一步诠释数列极限的E-N定义中()E的任意性:(i)N的相应存在性;(i)几何 意义及lima,≠a的正面叙述 注意几何意义的R和R2的分析表述 6、介绍无穷小数列 定义4若lman=0,则称{a}为无穷小数列 定理211iman=a分{an-a}为无穷小数列 证明略] 注:本节计划2学时 §2收敛数列的性质 本节的教学目的及要求 利用“E-N”定义证明收敛数列的6个性质及海因定理从而使学生能更好地判定数 列的收敛与发散;能更快捷地求收敛数列的极限;同时,能使学生更熟练地使用“ε-N 语言 本节的基本教学内容 1、证明收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、两边夹定理及四则运算法则 定理22唯一性)若{an}收敛,则它只有一个极限 证明用反证法,略 定理23(有界性)若{a}收敛,则{an}有界 证明中注意lal≤l+{an-d其它略 定理24(保号性)若 lim a=a>0(或N时,有 an>a(或anN时,an≤bn则 7≤b

,( ). n a a n → →  4、 举若干（3～5 个）例子，来应用、运用定义求和验证数列的极限[参考教材上例 2、 例 3、例 4、例 5] 5、 进一步诠释数列极限的  − N 定义中(i)  的任意性；(ii)N 的相应存在性；(iii)几何 意义及 lim n x a a →  的正面叙述. [注意几何意义的 R 和 R2 的分析表述]. 6、 介绍无穷小数列. 定义 4 若 lim 0 n n a → = ，则称 an 为无穷小数列. 定理 2.1 lim { } n n n a a a a → =  − 为无穷小数列. [证明略] 注：本节计划 2 学时. §2 收敛数列的性质 [本节的教学目的及要求] 利用“  − N ”定义证明收敛数列的 6 个性质及海因定理.从而使学生能更好地判定数 列的收敛与发散；能更快捷地求收敛数列的极限；同时，能使学生更熟练地使用“  − N ” 语言. [本节的基本教学内容] 1、 证明收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、两边夹定理及四则运算法则. 定理 2.2(唯一性) 若 an 收敛，则它只有一个极限. [证明用反证法，略] 定理 2.3（有界性） 若 an 收敛，则 an 有界. [证明中注意 n n a a a a  + − ,其它略] 定理 2.4(保号性) 若 lim 0( 0) n n a a → =   或 则对      a a a a N   (0, )( ( ,0)), , 或 当 n N  时,有 ( ). n n a a a a     或 [证明略] 定理 2.5( 不等式性) 若 lim ,lim , , n n n n a a b b N → → = =  且 当 n N  时, , n n a b  则 a b 

证明略注意即使anN时,an≤bn≤Cn, 则limb= [证明略] 定理27(四则运算法则)若 lim a=a, lim b=b,则 im(an±bn) →∞ im(anb)=a·b lim (b≠0) 证明略] 2、介绍子列的概念及证明海因定理 定义5若n<2<…<n2<…且{}<N则称an,an2…an…为{an}的子 列简记为{an} 定理28海因定理){an}收敛◇→{an}的任何非平凡子列均收敛 [证明略] 注:本节计划3学时 §3数列极限存在的条件 本节的教学目的及要求 能够掌握并运用单调有界性定理及柯西收敛准则 本节的基本教学内容 1、介绍单调数列的概念,并证明单调有界性定理. 定义6若an≤an1,则称{an}为单增(不减)数列 若an≥an则称{an}为单增(不增)数列 定理29(单调有界性定理)单调有界数列必有极限 证明略] 2、介绍柯西收敛准则及应用它证明某些数列的收敛性与发散

[证明略.注意即使 , n n n a b a b   也推不出 ] 定理 2.6(两边夹定理) 若 lim ,lim , , n n n n a a c a N → → = =  且 当 n N  时, , nnn a b c   则 lim n n b a → = . [证明略] 定理 2.7(四则运算法则) 若 lim ,lim , n n n n a a b b → → = = 则 lim( ) n n n a b a b →  =  ; lim( ) ; lim ( 0). n n n n n n a b a b a a b b b → →  =  =  [证明略] 2、 介绍子列的概念及证明海因定理. 定义 5 若 n n n n 1 2      k k 且  N+ .则称 1 2 , , , , k n n n a a a 为 an 的子 列,简记为 ank . 定理 2.8(海因定理) an 收敛 an 的任何非平凡子列均收敛. [证明略] 注：本节计划 3 学时. §3 数列极限存在的条件 [本节的教学目的及要求] 能够掌握并运用单调有界性定理及柯西收敛准则. [本节的基本教学内容] 1、 介绍单调数列的概念,并证明单调有界性定理. 定义 6 若 n n 1 a a  + ,则称 an 为单增(不减)数列; 若 n n 1 a a  + ,则称 an 为单增(不增)数列. 定理 2.9(单调有界性定理) 单调有界数列必有极限. [证明略] 2、 介绍柯西收敛准则及应用它证明某些数列的收敛性与发散

定理210(柯西收敛准则){an}收敛的充分必要条件是对vE>0,N,当n,m>N 时,有n-an|<E 证明略 举3~5个例子来运用柯西收敛准则 注:本节计划2学时

定理 2.10(柯西收敛准则) an 收敛的充分必要条件是对     0, , N 当 n m N ,  时，有 n m a a −   . [证明略] 举 3～5 个例子来运用柯西收敛准则. 注：本节计划 2 学时