《离散数学》课程PPT教学课件（讲稿）第5章 代数系统的一般性质（5.2）代数系统及其子代数、积代数

52代数系统及其子代数、积代数 ■代数系统定义 ■同类型与同种的代数系统 ■子代数 ■积代数

1 ◼ 代数系统定义 ◼ 同类型与同种的代数系统 ◼ 子代数 ◼ 积代数 5.2 代数系统及其子代数、积代数

代数系统定义与实例 定义 非空集合S和S上k个一元或二元运算f, 历,…,f组成的系统称为一个代数系统,简称代 数,记做= S称为代数系统的载体,S和运算叫做代数系 统的成分.有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素,称为代数常数,例如二元运算的单位元 有时也将代数常数作为系统的成分

2 代数系统定义与实例 定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1 , f2 , … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=. S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分

实例 ,,是代数系统, +和·分别表示普通加法和乘法 是代数系统, +和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法 是代数系统,Zn={0,1 ④和⑧分别表示模n的加法和乘法,Vxy∈Zn, xOy=(rty) mod n, xOy=(xy) mod n 也是代数系统, U和∩为并和交,~为绝对补

3 实例 , , 是代数系统， + 和 · 分别表示普通加法和乘法. 是代数系统， + 和 · 分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法. 是代数系统，Zn ＝{0, 1, … , n-1}，  和  分别表示模 n 的加法和乘法，x,y∈Zn， xy = (x＋y) mod n，xy = (xy) mod n 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补

同类型与同种代数系统 定义(1)如果两个代数系统中运算的个数相同 对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同, 则称它们是同类型的代数系统 (2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同,则称为同种的代数系统 例1V1=, V2=, 0为n阶全0矩阵,E为n阶单位矩阵 =

4 同类型与同种代数系统 定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同， 对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同， 则称它们是 同类型的 代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同，则称为 同种的 代数系统. 例1 V1 = , V2 = ,  为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3 =

同类型与同种代数系统(续) +可交换可结合+可交换,可结合U可交换,可结合 可交换,可结合·可交换,可结合∩可交换,可结合 +满足消去律满足消去律不满足消去律 满足消去律 满足消去律不满足消去律 对+可分配 对+可分配 ∩对U可分配 +对·不可分配+对·不可分配U对∩可分配 +与·没有吸收+与·没有吸收律U与∩满足吸收律 律 V1,V2V3是同类型的代数系统 V1,V2是同种的代数系统 V1,V2与不是同种的代数系统

5 V1 V2 V3 + 可交换, 可结合 · 可交换, 可结合 + 满足消去律 · 满足消去律 · 对+可分配 + 对 · 不可分配 +与 · 没有吸收 律 + 可交换, 可结合 · 可交换, 可结合 + 满足消去律 · 满足消去律 · 对+可分配 + 对 · 不可分配 +与 · 没有吸收律 ∪可交换, 可结合 ∩可交换, 可结合 ∪不满足消去律 ∩不满足消去律 ∩对∪可分配 ∪对∩可分配 ∪与∩满足吸收律 V1 , V2 , V3是同类型的代数系统 V1 , V2是同种的代数系统 V1 , V2与V3不是同种的代数系统 同类型与同种代数系统（续）

子代数 定义设是代数系统,B是S 的非空子集,如果B对f1,f2,…,都是封闭的 且B和S含有相同的代数常数,则称是v的子代数系统,简称子代数.有时 将子代数系统简记为B 实例N是和的子代数.N-{0}是 的子代数,但不是的子代数 说明: 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统V,其子代数一定存在

6 子代数 定义 设V= 是代数系统，B 是 S 的非空子集 ，如果 B 对 f1 , f2 , … , fk 都是封闭的， 且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 是 V 的子代数系统，简称 子代数. 有时 将子代数系统简记为 B. 实例 N是 和的子代数. N−{0}是 的子代数，但不是的子代数 说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在

关于子代数的术语 最大的子代数就是V本身.如果中所有代数常数 构成集合B,且B对V中所有运算封闭,则B就 构成了T的最小的子代数.最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数.若B是S的真子集,则B构成 的子代数称为V的真子代数 例2设,令nz={nz|∈2,n为自然 数,则nz是V的子代数,当n=1和0时,nz是 V的平凡的子代数,其他的都是V的非平凡的真子 代数

7 关于子代数的术语 最大的子代数 就是V 本身. 如果V 中所有代数常数 构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就 构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数. 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成 的子代数称为V 的真子代数 . 例2 设V=，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子 代数

积代数 无法显示该图片 定义设=和V2=是代数系统,其中 和*是二元运算V与V的积代数是=, Vx11>,∈S1xS2, 11·=V2=,积代数 VK1, M1,EZXM2(R 0=<3. 20

8 积代数 定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 o 和  是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=, , S1S2 , ∙ = 例3 V1=, V2=, 积代数 , ZM2 (R) , o =         − =         −   −          2 0 2 1 3, 0 1 2 1 2, 1 1 1 0 5, 

积代数的性质 无法显示该图片 定理设Ⅵ=和V2=是代数系统,其中o和 *是二元运算V1与2的积代数是 (1)若和*运算是可交换的,那么运算也是可交换的 (2)若o和*运算是可结合的,那么运算也是可结合的 (3)若o和*运算是幂等的,那么运算也是幂等的 (4)若o和*运算分别具有单位元e1和2,那么运算 也具有单位元关于运算也具有逆元

9 积代数的性质 定理 设 V1 = 和 V2 = 是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的积代数是V= (1) 若 o 和  运算是可交换的，那么∙ 运算也是可交换的 (2) 若 o 和  运算是可结合的，那么∙ 运算也是可结合的 (3) 若 o 和  运算是幂等的，那么∙ 运算也是幂等的 (4) 若 o 和  运算分别具有单位元e1 和 e2，那么∙ 运算 也具有单位元 (5) 若 o 和  运算分别具有零元1 和 2，那么∙ 运算 也具有零元 (6) 若 x 关于 o 的逆元为x −1 , y 关于  的逆元为 y −1，那 么关于∙ 运算也具有逆元

53代数系统的同态与同构 ■同态映射的定义 ■同态映射的分类 口单同态、满同态、同构 口自同态 ■同态映射的性质 10

10 5.3 代数系统的同态与同构 ◼ 同态映射的定义 ◼ 同态映射的分类 单同态、满同态、同构 自同态 ◼ 同态映射的性质