《离散数学》课程PPT教学课件（讲稿）第5章 代数系统的一般性质（5.1）二元运算及其性质

代数结构

1 代数结构

代数结构部分 ■第5章代数系统的一般性质 ■第6章几个典型的代数系统

2 代数结构部分 ◼ 第5章 代数系统的一般性质 ◼ 第6章 几个典型的代数系统

第5章代数系统的一般性质 ■51二元运算及其性质 ■52代数系统及其子代数和积代数 53代数系统的同态与同构

3 第5章 代数系统的一般性质 ◼ 5.1 二元运算及其性质 ◼ 5.2 代数系统及其子代数和积代数 ◼ 5.3 代数系统的同态与同构

51二元运算及其性质 二元运算定义及其实例 一元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 口交换律、结合律、幂等律、消去律 口分配律、吸收律 二元运算的特异元素 口单位元 口零元 口可逆元素及其逆元

4 5.1 二元运算及其性质 ◼ 二元运算定义及其实例 ◼ 一元运算定义及其实例 ◼ 运算的表示 ◼ 二元运算的性质  交换律、结合律、幂等律、消去律  分配律、吸收律 ◼ 二元运算的特异元素  单位元  零元  可逆元素及其逆元

二元运算的定义及其实例 定义设S为集合函数fSXS→S称为S上的二 元运算,简称为二元运算也称S对∫封闭 例1 )N上的二元运算:加法、乘法 (2)z上的二元运算:加法、减法、乘法 (3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法 (4)设S={a1,a2…,an,a10=G,°为S上二 元运算

5 二元运算的定义及其实例 定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的二 元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1 , a2 , … , an }, ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上二 元运算

二元运算的实例(续) (5)设M1(R)表示所有n阶(m≥2)实矩阵的集 9 12 n MM(R)= a2n an∈R,i,j=1,2,,n 矩阵加法和乘法都是M(R)上的二元运算. (6)幂集P(S)上的二元运算:U,∩,一,⊕ (7)SS为S上的所有函数的集合:合成运算

6 二元运算的实例（续） (5) 设 Mn (R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn (R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, . (7) S S 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.                =             = a R i j n a a a a a a a a a M R i j n n nn n n n ( ) , , 1,2,..., 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1    

元运算的定义与实例 定义设S为集合,函数f:S→S称为S上的 元运算,简称为一元运算. 例2(1)Z,Q和R上的一元运算:求相反数 (2)非零有理数集Q*,非零实数集R*上的一元 运算:求倒数 (3)复数集合C上的一元运算:求共轭复数 (4)幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算 (5)A为S上所有双射函数的集合,AcsS:求反 函数 (6)在Mn(R)(n>2)上,求转置矩阵

7 一元运算的定义与实例 定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一 元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，AS S : 求反 函数 (6) 在 Mn (R) ( n≥2 )上，求转置矩阵

二元与一元运算的表示 算符:o,*,,⊕,⑧等符号 表示二元或一元运算 对二元运算。,如果κ与y运算得到乙,记做 oy=; 对一元运算o,x的运算结果记作ox 表示二元或一元运算的方法: 公式、运算表 注意:在同一问题中不同的运算使用不同的算符

8 二元与一元运算的表示 算符：∘, ∗, · , ,  等符号 表示二元或一元运算 对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y = z； 对一元运算 ∘, x 的运算结果记作 ∘x 表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表 注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符

二元与一元运算的表示(续) 公式表示 例3设R为实数集合,如下定义R上的二元运 算 Vx,y∈R,x*y=x 那么3*4=3 0.5来(-3)=0.5 运算表(表示有穷集上的一元和二元运算)

9 公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ∗： x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3 ∗ 4 = 3 0.5 ∗ (-3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） 二元与一元运算的表示（续）

运算表的形式 o 2 loa 10

10 运算表的形式 ∘ a1 a2 … an ∘ai a1 a2 . . . an a1 ∘a1 a1 ∘a2 … a1 ∘an a2 ∘a1 a2 ∘a2 … a2 ∘an . . . . . . . . . an ∘a1 an ∘a2 … an ∘an a1 a2 . . . an ∘a1 ∘a2 . . . ∘an