清华大学：《计量经济学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 经典单方程计量经济学模型：多元回归（多元线性回归模型）

第三章经典单方程计量经济学模 型:多元回归 多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测 回归模型的其他形式 回归模型的参数约束

第三章 经典单方程计量经济学模 型：多元回归 • 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式 • 回归模型的参数约束

§31多元线性回归模型 、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定

§3.1 多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定

、多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。 般表现形式: Y=Bo+BX+B2X2it.+B,Xk+u 其中:为解释变量的数目,称为回归参数 (regression coefficient 习惯上:把常数项看成为一虚变量的系数,该 虚变量的样本观测值始终取1。这样: 模型中解释变量的数目为(k+1)

一、多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。 一般表现形式： Yi   X i  X i +  k X ki +  i = + + +    0 1 1 2 2 i=1,2…,n 其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数 （regression coefficient）。 习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k+1）

Y=Bo+BX+B,x BkX 也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的 非随机表达式为: E(HY1X12X22…)=B+B1X1+B2X21+…+BkXh 方程表示:各变量X值固定时Y的平均响应 B也被称为偏回归系数,表示在其他解释变 量保持不变的情况下,X每变化1个单位时,Y 的均值E(Y)的变化; 或者说β给出了X的单位变化对Y均值的“直 接”或“净”(不含其他变量)影响

Yi   X i  X i +  k X ki +  i = + + +    0 1 1 2 2 也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的 非随机表达式为: E Yi X i X i Xki   X i  X i +  k Xki = + + + 1 2 0 1 1 2 2 ( | , ,  ) 方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。  j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变 量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化; 或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直 接”或“净”（不含其他变量）影响

总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 Y=XB+u 其中 1 X X 1X X In X B B1 B=B 几 B (k+1)×1

总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 Y = Xβ+ μ 其中 1 2 ( 1) 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1  +             = n k n n kn k k X X X X X X X X X        X ( 1) 1 2 1 0 +                  = k  k     β 1 2 1              = n n     μ

样本回归函数:用来估计总体回归函数 B+B1X1+B2X2+…+BkX 其随机表示式: Y =Bo+BX1+B2X2it.+Bk Xk+ e称为残差或剩余项 residual),可看成是总 体回归函数中随机扰动项的近似替代。 样本回归函数的矩阵表达: Y=XB或Y=XB+e 其中:

样本回归函数：用来估计总体回归函数 Yi   X i  X i  ki Xki ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = 0 + 1 1 + 2 2 ++ 其随机表示式: i i i ki ki i Y =  +  X +  X + +  X + e ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1 2 2  ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总 体回归函数中随机扰动项i的近似替代。 样本回归函数的矩阵表达: Y ˆ = Xβ ˆ 或 Y = Xβ+ e ˆ 其中：               =  k   ˆ ˆ ˆ ˆ 1 0  β               = n e e e  2 1 e

二、多元线性回归模型的基本假定 假设1,解释变量是非随机的或固定的,且各 Ⅹ之间互不相关(无多重共线性) 假设2,随机误差项具有零均值、同方差及不 序列相关性 E(p1)=0 a(u1)=E(2)=a2 i≠ji,j=1,2,…,n Cow(12)=E(p,,)=0 假设3,解释变量与随机项不相关 COv(X,4)=0 j=1,2…,k 假设4,随机项满足正态分布 1~N(0,2)

二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各 X之间互不相关（无多重共线性）。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不 序列相关性 ( ) = 0 E  i 2 2 Var(i ) = E(i ) =  Cov(i , j ) = E(i  j ) = 0 i  j i, j =1,2,  ,n 假设3，解释变量与随机项不相关 Cov(X ji ,i ) = 0 假设4，随机项满足正态分布 ~ (0, ) 2 i N  j = 1,2 , k

上述假设的矩阵符号表示式: 假设1,nx(k+1)矩阵X是非随机的,且X的秩pk+1, 即X满秩。 41)(E(41) 假设2,E()=E 0 E()=E1:(1…An (4n (AnA1 (12n) 0 COv(4n,1)…var(n) 假设3,E(XA)=0,即 ∑E(A,) X X1E(/1) 0 Kipi ∑ XKE(u

上述假设的矩阵符号表示式： 假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1， 即X满秩。 假设2， 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 =           =           = n E n E E E     μ   ( )                      = n n E E      1  1 (μμ)           = 2 1 1 2 1 n n n E            I 2 2 2 1 1 1 0 0 cov( , ) var( ) var( ) cov( , )          =           =           =           n n n 假设3，E(X’)=0，即 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 =               =                     Ki i i i i Ki i i i i X E X E E X X E        

假设4,向量有一多维正态分布,目 ~N(0,c2D 同一元回归一样,多元回归还具有如下两个重要假设: 假设5,样本容量趋于无穷时,各解释变量的方差趋于有 界常数,即n→>∞时, ∥-F ∑x=∑(Xn-X1)→g或 xx→>Q 其中:Q为一非奇异固定矩阵,矩阵x是由各解释变量 的离差为元素组成的n×k阶矩阵 假设6,回归模型的设定是正确的

假设4，向量 有一多维正态分布，即 ~ ( , ) 2 μ N 0  I 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设： 假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有 界常数，即n→∞时， j i X j i X j Qj n x n  2 = ( − ) 2 → 1 1 或 xx → Q n 1 其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量 的离差为元素组成的nk阶矩阵           = n kn k x x x x      1 11 1 x 假设6，回归模型的设定是正确的