华东交通大学：《建筑企业经营管理》一元线性回归方程a,b系数推导过程

一元线性回归方程a,b系数推导过程 建立回归方程y=a+bx所建方程的回归系数ab值应使实际 数据点尽可能的接近回归直线。也就是各数据点到回归直 线的坚直距离的平方和越小越好。即: Q=∑(Um-y)→>最小 式中:Q—各数据点回归直线竖直距离的平方和 yai-x;处实际数据点的纵坐标 y-x处回归直线的纵坐标 可表示为:y=a+bx(=1…m)

1 一元线性回归方程a,b系数推导过程 建立回归方程y=a+bx所建方程的回归系数a,b值应使实际 数据点尽可能的接近回归直线。也就是各数据点到回归直 线的竖直距离的平方和越小越好。即： 式中：Q—各数据点回归直线竖直距离的平方和： ( ) = = − → n i ai i Q y y 1 2 最小 : y a b x (i 1 n) y x ； y x ； i i i i a i i = + =  − − 可表示为 处回归直线的纵坐标 处实际数据点的纵坐标

n—数据个数 Q=∑(ya-y)2=∑[ i=1 ai(a+bx 2-2ayai-2bx yai +a+abx,+b xi 22 ∑ya-2a∑ya-2b∑x;yan+na2+2ab∑x+ b2∑x→>最小,a,b取什么值?Q→>Qmn

2 • n—数据个数  ( ) ( )         = = = = = = = = → → = − − + + + = − − + + + = − = − + n i n i n i n i n i a i a i i a i i n i a i a i i a i i i n i i a i i n i a i b x ，a b ？Q Q y a y b x y n a a b x y a y b x y a abx b x Q y y y a b x 1 min 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 , 2 2 2 2 2 2 ( ) 最 小 取什么值

只有当函数Q分别对ab的偏导数等于零时,Q才可能趋于 最小值。即: =0,-2∑ya+2na+2b∑x;=0 Ce i=1 na+ b∑ ∑ ∑ b bx 0O a0,-2x1ya+2a∑x+2b∑(x)2=0

3 • 只有当函数Ｑ分别对a,b的偏导数等于零时，Ｑ才可能趋于 最小值。即：   ( )       = = = = = = = = = = − + + =   = − • = − = + = − + + =   n i n i n i i a i i i n i i n i a i n i i n i a i n i n i a i i x y a x b x b Q a y bx n x b n y a y n a b x y n a b x a Q 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0, 2 2 2 0 ; 0, 2 2 2 0

∑x,ymn=a∑x1+b2∑(x)2 ∑xm=(-bx△x+b(x) xya=y∑x1+b X>x ∑x;ya-y∑x ∑ ∑ya b 式中:x ∑(x)2-x∑x

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n y y n x x x x x x y y x b x y y x b x x x x y y bx x b x x y a x b x n i a i n i i n i i n i i n i i n i i a i n i n i n i n i i a i i i i n i n i n i i a i i i n i n i n i i a i i i                 = = = = = = = = = = = = = = = = = = − − =         = + − = − + = + 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ;式 中: ;

上式又可写成: ∑ya∑ b n∑x;ya-∑x;·∑y b 1= 2 n∑x-∑x ·与教材上结果一致

5 • 上式又可写成： • 与教材上结果一致 2 1 1 2 1 1 1 1 1 ;         − − • = = − •        = = = = = = = n i i n i i n i ai n i i n i i ai n i i n i ai n x x n x y x y b n x b n y a