浙江大学远程教育学院：《金融工程学》课程教学资源（教学讲稿）第十二章 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

浙江大学远程教育学院—金融工程学 鲇十〓章布舒尔斯默领期权定价模型 浙江大学继续教育学院 School of Continuing Education 续教学成人拟学的远按向字院

1 第十二章 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型 默顿期权定价模型 默顿期权定价模型 默顿期权定价模型

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot Contents 布莱克舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路 股票价格的变化过程 ○布莱克舒尔斯默顿期权定价公式 应用:农产品期权定价 出人字就

2 应用：农产品期权定价 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价公式 股票价格的变化过程 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 引言 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的。自期权交易,尤其是 股票期权交易产生以来,学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。 1973年,美国芝加哥大学教授费雪·布莱克( Fischer black)和梅隆 舒尔斯( Myron Scholes)发表《期权与公司负债定价》一文,提出了 著名的布莱克-舒尔斯期权定价模型,用于确定欧式股票期权价格, 在学术界和实务界引起了强烈反响。同年,罗伯特·默顿( Roben c Merton)独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获 得1997年的诺贝尔经济学奖.。本章將循序渐进,尽量深人浅出地介 绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型(下文简称B-SM模型),并由 此导出衍生证券定价的一般方法 思考:简要说说原生品定价与衍生品定价主要区别有寻些(可以某一 金融产品为例;如:外汇即期交易与外汇远期交易定价;股票与股票 期权等) 出人字就

3 引 言 • 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的。自期权交易，尤其是 股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。 1973年，美国芝加哥大学教授费雪•布莱克（Fischer Black)和梅隆• 舒尔斯（Myron Scholes)发表《期权与公司负债定价》一文,提出了 著名的布莱克-舒尔斯期权定价模型，用于确定欧式股票期权价格， 在学术界和实务界引起了强烈反响。同年，罗伯特•默顿（Roben C Merton)独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获 得1997年的诺贝尔经济学奖.。本章將循序渐进，尽量深人浅出地介 绍布莱克-舒尔斯-默顿期 权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由 此导出衍生证券定价的一般方法。 • 思考：简要说说原生品定价与衍生品定价主要区别有寻些（可以某一 金融产品为例；如：外汇即期交易与外汇远期交易定价；股票与股票 期权等）

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 12.1布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路 股票价格的变化过程是一个随机过程。相应地,受其影响的期权 价格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上,人们发现,股 票价格的变化过程可以用一种随机过程—几何布朗运动较好地加 以描述,其具体形式如下∠S udt +odE (12.1) 等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理( Ito lemma)可 知,当股票价格服从式(12.1)时,作为股票衍生产品的期权价 格将服从 o,1a2 S+一+ aS at 2as o S dt+osaz (12.2) 出人字就

4 12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路 • 股票价格的变化过程是一个随机过程。相应地，受其影响的期权 价格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上，人们发现，股 票价格的变化过程可以用一种随机过程--几何布朗运动较好地加 以描述，其具体形式如下 (12.1) • 等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从 • (12.2) dS dt dz S = + µ σ Sdz S f S dt S f t f S S f df µ σ σ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ) 2 1 ( 2 2 2 2

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 12.1布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路 观察式(12.2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响,其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 如果式(12.1)两边同时乘以y并与式(12.2)相减,则可 aS 以消去dz项 出人字就

5 12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路 • 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 以消去dz项。 S f ∂ ∂

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 12.1布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路 式(12.1)的两边同吋乘上并将两式相减消去dz,实际上意味 着买入”单位的股票,并卖空1单位的期权,可以构造出一个短期 内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中,一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上,就可以从(12.1)和(12.2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程,求解这一方程,就得到了期权价 格的最终公式。 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路,理解这一思路,将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。 出人字就

6 12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路 • 式（12. 1)的两边同吋乘上 ，并将两式相减消去dz,实际上意味 着买入 单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期 内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 12.2股票价格的变化过程 人们通常用形如 ds udt +od (12.1) 的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程,这是B-S-M期权定 价模型的基础性假设 在本节中,将从介绍几何布朗运动的相关基础知识开始,分析其被 选择用于描述股价变化的原因,之后运用伊藤引理推导出几何布朗 运动假设下期权所服从的随机过程。需要再次强调的是,几何布朗 运动仅仅是一种较好地贴近股票价格变化规律的假设(大胆假设、 小心求证)。 ·几何布朗运动中最重要的是d项,它代表影响股票价格变化的随机 因素,通常称之为标准布朗运动或维纳过程 出人字就

7 12.2 股票价格的变化过程 • 人们通常用形如 (12.1) 的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，这是B - S - M期权定 价模型的基础性假设 • 在本节中，将从介绍几何布朗运动的相关基础知识开始，分析其被 选择用于描述股价变化的原因，之后运用伊藤引理推导出几何布朗 运动假设下期权所服从的随机过程。需要再次强调的是，几何布朗 运动仅仅是一种较好地贴近股票价格变化规律的假设(大胆假设、 小心求证)。 • 几何布朗运动中最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机 因素，通常称之为标准布朗运动或维纳过程。 dS dt dz S = + µ σ

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 标准布朗运动 令对于标准布朗运动来说:设△t代表一个小的时间间隔 长度,Δz代表变量z在Δt时间内的变化,遵循标准布 朗运动的Δz具有两种特征 特征1:△z和△t的关系满足: N=E△t 其中,E代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为 1的正态分布)中取的一个随机值。 特征2:对于任何两个不同时间间隔△z,△z的值相互 独工 出人字就

8 标准布朗运动 ∆z ε ∆t ε

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 标准布朗运动 ·从特征1可知,Δ本身也具有正态分布特征,其均值为0,标准差为√A 方差为Δ从特征2可知,遵循标准布朗运动的变量具有独立增量 的性质。 进一步考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T-t中的变 化情形。我们用=()--()表示变量z在了T-t中的变化量,它可 被看做是在N个长度为Δ的小时间间隔中z的变化总量,其中 因此 ()-(=∑:√△ 出人字就

9 标准布朗运动 • 从特征1可知， 本身也具有正态分布特征，其均值为0,标准差为 方差为 从特征2可知，遵循标准布朗运动的变量具有独立增量 的性质。 • 进一步考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T-t中的变 化情形。 我们用 表示变量z在了T-t中的变化量，它可 被看做是在N个长度为 的小时间间隔中z的变化总量，其中 ， 因此 ∆z ∆t ∆t z T z t ( ) ( ) −∆t i 1 ( ) ( ) N i z T z t t ε = − = ∆ ∑

浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 示准布朗运动 ·式中,ξ(=12…,M)是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知 ,E1是相互独立的,因此x(7)-=(1)也具有正态分布特征,其均值 为0,方差为W△=7-1,标准差为√7-1。 可见:①在任意长度的时间间隔7-1中,遵循标准布朗运动的 变量的变化值服从均值为0、标准差为√7-1的正态分布。②在任 意长度的时间间隔-中,方差具有可加性,总是等于时间长度 ,不受Δ如何划分的影响,但标准差就不具有可加性。 ·当Δ→>0时,就可以近似得到极限的或者说连续的标准布朗运动 d=E√ar (12.4 出人字就

10 标准布朗运动 • 式中， 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知 ， 是相互独立的，因此 也具有正态分布特征，其均值 为0,方差为 ,标准差为 。 • 可见:①在任意长度的时间间隔 中，遵循标准布朗运动的 变量的变化值服从均值为0、标准差为 的正态分布。②在任 意长度的时间间隔 中，方差具有可加性，总是等于时间长度 ，不受 如何划分的影响,但标准差就不具有可加性。 • 当 时，就可以近似得到极限的或者说连续的标准布朗运动 • (12. 4) i ε ( 1, 2,..., ) i N = i ε z T z t ( ) ( ) − N t T t ∆ = − T t − T t − T t − ∆ →t 0 d z d t = ε T t − ∆t