西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（图片版重点难点辅导资料30讲）第27讲 线性方程组概念题选讲

线性代数重点难点30讲 第27讲线性方程组概念题选讲 一、克莱姆法则 2x1+a2x2+…+a2 线性方程组 如果系数行列式D=1A|≠0,则方程组有唯一解 D 其中D,是把D中第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式 二、线性方程组的基本概念 br aiXi+ anI2+"+ amla b2, 方程组 a,la1+ am,I2+.+ amt,= b 称为m个方程n个未知量的非齐次线性方程组 be b 则上述方程组可记为(矩阵形式)Ax=b 若记 则上述方程可改写为(向量形式)x1a1+x2a2+…+x,an=b

笫27讲线性方程组概念题选讲 aIn b11 矩阵 A=[A: b 称为方程组(*)的增广矩阵 anx1+anx2+…+ aInt=0 a21x1+a2x2+…+a2xn=0 方程组 () 0 称为n个未知元m个方程的齐次线性方程组,它是非齐次线性方程组(*)的导出组,其矩 阵形式为 Ax=0, 向量形式为 r1a1+x2a2+…+x2an=0 线性方程组解的判定 1.齐次线性方程组Ax=0 定有解(至少有零解),且秩(A)=n时,有唯一零解;秩(A)=r

158 线性代数重点难点30讲 (3)如果?是非齐次线性方程Ax=b的一个解,而n是其导出组Ax=0的一个解则 +n是方程组Ax=b的解 (4)如果1,72是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,则1-y2是其导出组Ax= 0的解 六、线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的结构 设n,n2,…,n为齐次线性方程组Ax=0的一组线性无关解如果方程组Ax=0 意一个解均可表为n1,2,…,n的线性组合则称n,n,…,n为方程组Ax=0的一个 础解系 设A为m×n矩阵,若秩(A)=r

第27讲线性方程组概念题选讲 159 x1a1+x22+x3a3+x44=3a2+a4, (2x1+x2)a2+(x3-x1)a3+x:a=3a2+a4 2x1+x2=3 x2=3-2x1, 故有 0 x3=x1, x4=1 分别令x1=0,x1=1,得Ax=B的两个特解=(0,3,0,1),5=(1,1,1,1).则其差 是其导出组Ax=0的解n=5-n=(1,-2,1,0) 故线性方程组Ax=B的通解为x=m+kn1= 0 例2已知B1,B2是Ax=b的两个不同的解,a1,a2是相应齐次方程组Ax=0的基 础解系,k1,k2是任意常数,则Ax=b的通解是() (A)ka, +k(a, +a,)+51 B2:(B)k,a, + k, (a-a)+B+p2 (C)k1a1+k2(B2-B1)+ k;a1+k2(B1-B2)+B1+B 解因为5(B1-B2)为Ax=0的解,而非Ax=b的解由解的结构理论知,(A)、(C) 不正确虽然a1,B1-阝2均为Ax=0的解,但是否线性无关不确定,因此不一定为基础解 系,排除(D),故正确选项为(B).事实上,a1,a1-gx2均为Ax=0的解且易证线性无关(由 k1a1+k2(a1-a2)=(k+k2)a1-k22=0,可推出只有k1=k2=0).于是a1,a1 a2也可作为Ax=0的基础解系,由A/B1+B2 MB+⊥AB2=2b2b=b知, B2B为Ax=b的特解故(B)式为Ax=b的通解表达式 例3设方程组 anx1 +a1r2+.+aimex =0, anI+ an2r3+ 的系数行列式A|=0,A中某元素a的代数余子式A≠0.试证(A1,A2…,An)是该 方程组的一个基础解系 ∴|A|=0,A3≠0,即A有一个n-1阶非零子式,∴秩(A)=n-1,故方程组 x=0的基础解系含一个解向量.由A≠0知(A1,A2…,A=)2≠0,所以只要验证

线性代数重点难点30讲 (An,Aa,…,An)是方程组的一个解即可,事实上 au a1 A 例4设A是n阶方阵,a是n维列向量,若秩 =秩(A),则线性方程 (A)Ax=a必有无穷多解; (B)Ax=a必有唯一解; -0仅有解:(0030多有半 解R(A)≤R(A!a)≤R =R(A),∴,R(Aia)=R(A)故方 组Ax=a有解,但不能判定Ax=a是有唯一解还是无穷多个解因而(A)、(B)都不 aa 是n+1阶方阵,且 =R(A)≤n

第27讲线性方程组概念题选讲 16l a1x1+2x2+a3x3+a4x4=0 3x1+c2x2+5x3+c4x4=0 的一个基础解系即可.下面确定系数矩阵 2 a, a 3c25c4」0 的秩,由于A有二阶子式/3 ≠0,所以R(A)≥2,又由线性方程组解的性质(4)知 52=-η 9 是相应的齐次方程组的解由于引1与2不成比例,所以线性无关,进而知基础解系中线性 无关解向量的个数=4-R(A)≥2,从而R(A)≤2,所以R(A)=2,齐次方程组的基础 解系包含2个解向量,1,2构成齐次方程组的一个基础解系,所以已给非齐次方程组的通 解为 +k151+k252(k1,k2为任意常数) 例6证明:齐次线性方程组x1+x2+…+xn=0的一个基础解系和齐次线性方程 组x1=x2=…=xn的一个基础解系构成R”的一个基 分析方程组x1+x2+…+xn=0的基础解系含有n-1个向量,方程组x1=x2= xn的基础解系只含有一个向量,此题关键是证明这个向量与那n-1个向量线性无关 可利用矩阵来证明 证方程组x1=x,=…=x的一个基础解系为η=(1,1,…,1) 方程组x1+x2+…+xn=0的一个基础解系为 0,5 0 111 l10…0 010 0 因为5 -101

线性代数重点难点30讲 所以η,51,52,…,5。线性无关,它们构成R"的一个基 例7设n阶方阵A的秩为r,证明:存在秩为n-r的方阵B,使得AB=O 分析因为n阶方阵A的秩为r,所以齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系含有n y个向量,这n-r个向量是线性无关的,可用它们构造一个秩为n-r的方阵B,便满足 证因为n阶方阵A的秩为r,所以齐次线性方程组Ax=0一个基础解系含有n-r向 量,设引1,52,…,5n,是Ax=0的一个基础解系则它们线性无关,取矩阵B=(51,52,…, 5,0,…,0),则矩阵B的秩为n-r,且有AB=A(51,2,…,5n-,0,…,0)=(A51 A52,…,A5n,0,…,0),即有AB=O 例8设有线性方程组 anx1+anC+.+ aint, = b2 anTi +an2x2+.+am,= b, Anxi+Anx2+.+ AImin =cI A21x1+A2x2+…+A A,lTI+ A.22+. AcR =c. 其中A为a在行列式A|=1(an)中的代数余子式,b(=1,2,…,n),C1(=1,2, n)不全为零,证明:方程组(*)有唯一解的充分必要条件是方程组(**)有唯一解 证根据克莱姆法则,非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是系数行列式的值不为 零.可利用第23讲伴随矩阵的公式来证明两个方程组系数行列式不为零是等价的.设方程 组(*)的系数矩阵为A,方程组(**)的系数矩阵为B,则有 )t=(A|A-)2 所以 1B|=|A1A2|=1A1”1A-11=1A1"1A11=1A1”, 于是1B|≠0的充要条件是1A1≠0,故若方程组(*)有唯一解,则A|≠0,可得|B ≠0,从而方程组(#*)有唯一解;反之,若方程组(**)有唯一解,则1B|≠0,可得|A 1≠0,从而方程组(*)有唯一解 例9设A=4 3,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则t= 提示n个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分条件是|A1

第27讲线性方程组概念题选讲 163 解设B=(x1,x2,x3),则 AB=A(x1,x2,x3)=(Ax1,Ax2,Ax3)=(0,0,…,0), 即 Ax1=0(i=1,2,3) 由矩阵B≠O,知Ax=0有非零解,从而|A|=0.即 A|=4t3=0t-811=7(+3)=0, -77 所以t=-3.故应填-3 例10要使引1=(1,0,2),52=(0,1,-1)都是线性方程组Ax=0的解,只要系 数矩阵A为( (A)[-211] (B) 1011 1-1 (D)4 01-1 解因为向量5,52不成比例故51,52线性无关若1,52都是Ax=0的解,而 (1)线性方程组Ax=0中未知量的个数n=3; (2)Ax=0的基础解系中含2个线性无关的解向量 因此Ax=0系数矩阵的秩 R(A)=3-2=1 由矩阵秩的定义知,(A)对应的矩阵秩为1,而(B)、(C)、(D)对应的矩阵的秩均大于 1,所以选(A) 例11非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩 为r,则() (A)r=m时,方程组Ax=b有解; (B)r=n时,方程组Ax=b有唯一解; (C)m=n时,方程组Ax=b有唯一解; (D)r

164 线性代数重点难点30讲 例12设a1,a2,a3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且秩(A)= a1=(1,2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3)2,c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解 为( (A) 0123 ;(D) 解因为a2,a3为Ax=b的解,故 =(Aa2+Aa3)= (a2+a3)=(0,1,2,3) 为Ax=b的解向量由Ax=b解的性质知 a1-2(a2+a)=(1.2, 为Ax=b对应的齐次线性方程组Ax=0的解,而Ax=0的基础解系含n-r=4-3= 1个解向量,所以 ax=(2,3,4,5)≠0 为Ax=0的一个基础解系.于是线性方程组Ax=b的通解 x=a1+ca=(1,2,3,4)+c(2,3,4,5) 故选(C 例13(2004年全国研究生入学考试试题)设A,B为满足AB=O的任意两个非零知 阵,则必有( (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关; (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关; (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 解设A=(a,)mn是m行n列的非零矩阵,则B是n行的非零矩阵因矩阵B是 零矩阵,所以齐次方程组Ax=0有非零解,从而R(A)=r

第27讲线性方程组概念题选讲 165 (2)若方程组Ax=0与方程组Bx=0同解,则R(A)=R(B); (3)若R(An)=n,则对任一n×p矩阵B,有R(AB)=R(B) (4)若R(Ann)=n为实矩阵则R(AA)=R(A)=R(AA 证(1)设Ax=0及Bx=0都是n元方程组,即矩阵A及B的列数都是n,如果Ax =0只有零解,则R(A)=n,此时显然有R(B)≤n=R(A),如果Ax=0存在非零解 则R(A)