西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第13讲 矩阵的秩

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第十三讲矩阵的秩 矩阵秩的定义 初等变换与矩阵的秩 再论矩阵的等价标准形 等价标准形应用举例 小结

第十三讲 矩阵的秩 • 矩阵秩的定义 • 初等变换与矩阵的秩 • 再论矩阵的等价标准形 • 等价标准形应用举例 • 小结

、矩阵秩的定乂 任何矩阵 mxn g 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.矩阵的秩 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交叉处的个k2元素不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式

. , 数是唯一确定的 把它变为行阶 梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行 变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得 的 阶行列式， ），位于这些行列交叉 处的个 元素 不改 定义 在 矩阵 中任取 行 列（ A k A k k n k m n A k k k m    一 、矩阵秩的定义 矩阵的秩

mxn矩阵A的k阶子式共有Ck·Ck个 定义2设在矩阵A中有一个不等于0的k阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等 于0,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A的秩,记作R(4)并规定零矩阵的秩 等于零 m×n矩阵A的秩R(4)是A中不等于零的 子式的最高阶数 对于A,显有R(A)=R(A

. ( ) . 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话 ）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 A R A D A r D r A k  . ( ) 子式的最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有  矩阵 的 阶子式共有 个. k n k m  n A k Cm C

由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论: (1)若A是m行n列矩阵,则R(A)≤min{m,n}; (2)若A是n阶方阵,mR(A)=n<deA≠0, 或R(A)< n deta=0; (3)若A有一个r阶子式不为零,则R(A)≥r; (4)若A的所有r+阶子式全为零,则R(A)≤r; 定理24R(A)=r的充要条件为A有一个r阶子式不 为零,而所有P1阶子式(如果有的话)全为零

由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论： （1）若A是m行n列矩阵，则 R(A)  min{m,n}; (2)若A是n阶方阵，则 R(A) n detA 0; R(A) n detA 0,       或 （3）若A有一个r阶子式不为零，则 R(A)  r; （4）若A的所有r+1阶子式全为零，则 R(A)  r; 定理2.4 R(A)=r的充要条件为A有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式（如果有的话）全为零

23 例1求矩阵A=23-5|的秩 47 解在A中, ≠0 又∵A的3阶子式只有一个A,且A=0, ∴R(A)=2

例1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩       A   解 在 A中， 又 A的 3 阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A  0，  R(A)  2

10 例2求矩阵B 2000 31 3240 253 的秩 00 解:B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行, B的所有4阶子式全为零 2 3 而03-2≠0,∴R(B)=3. 004

例2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩           B  解  B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，  B的所有 4 阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3   而  R(B)  3

22 例3已知A=02 求该矩阵的秩 2 3 解 =2≠0,计算4的3阶子式 13-21323-22 02-1=0023=,-13=0-13=0, 201-205015-21 =0 R(A)=2

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3    2 0 1 0 2 1 1 3 2    2 0 5 0 2 3 1 3 2  解 计算A的3阶子式，  0,  0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2   2 1 5 0 1 3 1 2 2     0,  0,     0.  RA  2

13-22 另解对矩阵A=02-13做初等变换, 2015 13-22(13-22 02-13|~02-13 2015)(0000 显然,非零行的行数为2, R(A)=2 此方法简单!

对矩阵 做初等变换，           2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2                   显然，非零行的行数为2，  RA  2. 此方法简单！

、初等变换与矩阵的秩 因为对于任何矩阵Am,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形 问题:经过变换矩阵的秩变吗? 定理1若A~B,则R(A)=R(B) 证先证明:若A经一次初等行变换变为B, 则R(A)≤R(B) 设R(A)=r,且A的某个r阶子式D≠0

. , 等行变换把他变为行阶 梯形 因为对于任何矩阵 Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定理1 若 A ~ B,则 RA  RB. 证 二、初等变换与矩阵的秩 R(A) R(B). A B 则  先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( )   0. Dr 设 R A r，且 A的某个 r 阶子式