西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第12讲 初等矩阵

线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

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第十二讲初等矩阵 矩阵的概念及性质 初等矩阵的作用 初等矩阵的应用 小结

第十二讲 初等矩阵 • 矩阵的概念及性质 • 初等矩阵的作用 • 初等矩阵的应用 • 小结

、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛 定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 1.对调两行或两列; 2.以数k≠0乘某行或某列; 3以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一 、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l、对调两行或两列 对调E中第;j两行,即(4)得初等方阵 ←第i行 E(i,j 0 第j行

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj)，得初等方阵 1、对调两行或两列        1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵Em(j左乘A=(an)m,得 11 12 n anan2am第 Em(i,j)a 4" an←第j行 nI m2 n 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第行与第j行对调(分r

用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A  (aij)mn，得        m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 11 12 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换 ：

类似地, 以n阶初等矩阵En(i,右乘矩阵A, AEnGG,J 21 2n m 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i列与第j列对调(c1>c;)

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A        m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 21 2 2 2 11 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换 ：

2、以数k≠0乘某行或某列 以数k≠0乘单位矩阵的第i(r×k),得初等 矩阵E(i(k) E(i(k)) ←第i行

2、以数 k  0 乘某行或某列 ( ( )). 0 ( ) E i k k i r k i 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等        1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行

以En(i(k)左乘矩阵A, 12 Em(i(k)A=kan1ka12kan第i行 m2 n 相当于以数k乘A的第i行Gr×k) 类似地,以E(i(k)右乘矩阵A,其结果 相当于以数k乘A的第列(c1×k)

相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)；        m m mn i i in n m a a a ka ka ka a a a E i k A          1 2 1 2 11 12 1 ( ( ))  第 i 行 类似地， 以 Em (i(k)) 左乘矩阵 A， ( ). ( ( )) k A i c k E i k A i n 相当于以数 乘 的第 列  以 右乘 矩阵 ，其结果

3、以数k≠0乘某行列加到另一行(列)上去 以k乘E的第j行加到第i行上(r+r) [或以k乘E的第i列加到第j列上(c1+lGc ←第i行 E(j(kD) 第行

3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr          1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行

以En((k)左乘矩阵A, 11 12 n a. tka jl ai2+ ka :+ Em(j()a 2 把A的第行乘k加到第i行上(+kr)

以 Em (ij(k)) 左乘矩阵A，           m m mn j j jn i j i j in jn n m a a a a a a a ka a ka a a a a a E ij k A              1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 ( ( )) ( ). i j 把 A的第 j 行乘 k 加到第i 行上 r  kr