西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（图片版重点难点辅导资料30讲）第19讲 行列式计算方法与技巧（2）

第19讲行列式计算方法与技巧(2) l15 第19讲行列式计算方法与技巧(2) 阶范德蒙行列式指的是 I 1 许多复杂的行列式的计算都归结为对范德蒙行列式的计算.此外,它在解线性方程组 等方面也有重要的应用 例1D i g 解把行列式的第2行与第3行对换,即知其为范德蒙行列式 l111 4 1324 19416 1)2322242 127864 3-(-1))[2-(-1)]〔4-(-1)〕(2-3)(4-3)(4-2)=120 例2计算 (1-i)(-1-i)2(2-i)3( D=(1+2)3(-1+2i)3(2+2i)3(-2+2i) (1+i)(-1+i)3(2+)3(-2+)3 i)3(2-2i)3( 解根据矩阵的乘法规则,有 13(-i)3(-i)2 D 3(2i)3(2i)2(2i)212(-1)22 3(i)3(i)2(i)31(-1)2(-2) 3(-2i)3(-2i)2(-2)L1

116 线性代数重点难点30讲 应用范得蒙行列式公式,得 D=9(-2i-1)(-2i-2i)(-2i+i)(i-2i)·(i+i)(2i+i)(-2-2)(-2+1) (-2-1)(2+1)(2-1)(-1-1) 9×3×4×2×3×4×3×3×2i2=-46656 例3令f(x)=ax+anx21+…+aa1x+aa,i=0,1,…,n-1,计算 f0(x1)f6(x2)…f6(xn) f1(x1)f1(x2) fi(r,) fr-1(xi) fa-1(x2)"./n-I(x) 0 解原式=a2 a-I n-l ag-I n-2 aa-IN-3 I aa(r-r, n≥i>j≥ 例4证明: II (x-I) 证考察线性方程组 1+x2l2 (19 其中x1,x2,…,x。为已知数,1,u2,…,n为未知数 设线性方程组(19.1)的系数矩阵组成的行列式为D,则 (19.2 又方程组(19.1)可看作n次多项式方程

第19讲行列式计算方法与技巧(2) 有n个根石,x…,,由根与系数关系可得0C 由(19.2)式及D为范德蒙行列式可得D.=Dan=∑xⅡ1(x,-x) 例5设n次多项式f(x)=c+cx+”+cmx",若对n+1个不同的x值x1,x2, …,xn+1,均使它为0,试证:f(x)≡0 分析f(x)由系数c,c1,…,c确定,因为f(x)有n+1个不同的零点x1,…,x 所以f(x)=0(i=1,2,…,n+1)从而可利用克莱姆法则解出c,e,",做, 证由题设x,≠x,(i≠j,,=1,2,…,n+1),使 co+c1x1+c2x21+…+cr1=0, 这是n+1个方程,n+1个未知量co,c1,…,cn的齐次方程组,而系数行列式 ∴由克莱姆法则知只有零解:cn=c1=…=cn=0,即f(x)≡0 例6试证明D (证明留给读者提示:后n行依次与上一行交换位置,然后再用范德蒙行列式计算)