北京大学：《利息理论与应用》课程教学资源（课件讲义）第二章 年金（主讲：黄海）

第二章年金 年金( annuity)—指以相等的时间间隔进行 的一系列收付款行为,也指以固定的时间周期以相 对固定的方式发生的现金流,例如投保、领保、房 贷等 注∞默认为确定年金( annuity- certain),即无条件 确定发生的年金 注∞默认考虑的现金流的金额与利率无关,但现 金流在不同时刻的时间价值与利率水平有关 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章1

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 1 第二章 年金 年金 (annuity) 指以相等的时间间隔进行 的一系列收付款行为 也指以固定的时间周期以相 对固定的方式发生的现金流 例如投保 领保 房 贷等 注C 默认为确定年金(annuity-certain) 即无条件 确定发生的年金 注C 默认考虑的现金流的金额与利率无关 但现 金流在不同时刻的时间价值与利率水平有关

年金现金流是许多复杂现金流的基础,是利率计 算的最直接的一种应用 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计 算两大类 付款期( payment period 指两次年金收取 之间的时间间隔 注∞默认为时间间隔相等 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-2

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 2 v 年金现金流是许多复杂现金流的基础 是利率计 算的最直接的一种应用 v 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计 算两大类 付款期 (payment period) 指两次年金收取 之间的时间间隔 注C 默认为时间间隔相等

§21基本年金 基本年金 种最简单的年金方式,满足 1)付款时期间隔相等 2)每次付款额度相同 3)付款的频率与计息的频率相同 基本年金主要可分为期末年金和期初年金两种典型 情形 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-3

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 3 2.1 基本年金 基本年金 一种最简单的年金方式 满足 1 付款时期间隔相等 2 每次付款额度相同 3 付款的频率与计息的频率相同 基本年金主要可分为期末年金和期初年金两种典型 情形

期末年金( annuity-immediate 期末年金—年金的现金流在第一个付款期末首 次发生,随后依次分期进行 n期标准期末年金—每次的年金金额为1个货币 单位,现金流在第一个付款期末首次发生,共计n次 时间流程图: 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章4

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 4 期末年金(annuity-immediate) 期末年金 年金的现金流在第一个付款期末首 次发生 随后依次分期进行 n 期标准期末年金 每次的年金金额为 1 个货币 单位 现金流在第一个付款期末首次发生 共计 n 次 时间流程图 1 … 1 0 1 n

记号a 表示比较日选为0时刻的n期标准 期末年金的所有年金金额的现值之和,简记 n 注∞记号a也可以表示利率i环境中的标准期末 n 年金的现金流 注∞记号a中“a”是年金的英文单词的第一个 n I 字母,n表示年金现金流的次数,i表示年金的计 算利率。 计算公式为: a=1+1-+∴+1 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章5

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 5 记号 n i | a 表示比较日选为 0 时刻的 n 期标准 期末年金的所有年金金额的现值之和 简记 n | a 注C 记号 n i | a 也可以表示利率 i 环境中的标准期末 年金的现金流 注C 记号 n i | a 中 a 是年金的英文单词的第一个 字母 n 表示年金现金流的次数 i 表示年金的计 算利率 计算公式为 2 | 1 n n n v a v v v i - = + +L+ =

基本公式: 1)1=la+n 即:0时刻一个货币单位的价值 (0,n上每次(利息)收入i的现金流价值(ian) +n时刻一个货币单位的现值(v") 2)1= 即:0时刻一个货币单位的价值 =(0,n上对应的n期期末年金现金流() 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章_6

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 6 基本公式 1 | 1 n n = + ia v 即 0 时刻一个货币单位的价值 = (0, ] n 上每次 利息 收入 i 的现金流价值 | ( ) n ia + n时刻一个货币单位的现值 ( ) n v 2 | | 1 1 n n a a = 即 0 时刻一个货币单位的价值 = (0, ] n 上对应的 n期期末年金现金流 | 1 ( ) n a

记号s 表示标准期末年金的所有年金金额在 年金结束时刻的终值之和,简记“s 计算公式为: Sn,=1+(1+)+(1+1)2+…+(1+0 (1+i)”-1 基本公式: 1)(1+i)=1+is 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章—7

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 7 记号 n i | s 表示标准期末年金的所有年金金额在 年金结束时刻的终值之和 简记 n | s 计算公式为 2 1 | 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 n n i n s i i i i i - = +++ + + + + + - = L 基本公式 1 | (1 ) 1 n n + i = + is

即:0时刻一个货币单位在n时刻的价值 =(0,n上每次(利息)收入i的现金流终值(is) +m时刻一个货币单位(本金) 2)1=-s 即:n时刻一个货币单位的价值 =(0,m]上对应的n期期末年金现金流() 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章_8

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 8 即 0 时刻一个货币单位在 n 时刻的价值 = (0, ] n 上每次 利息 收入 i 的现金流终值 | ( ) n is + n时刻一个货币单位 本金 2 | | 1 1 n n s s = 即 n 时刻一个货币单位的价值 = (0, ] n 上对应的 n 期期末年金现金流 | 1 ( ) n s

s与a关系式: (1+1) 注(1+i)y为期初到期末的累积因子 l 注∞由1)可得 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章_9

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 9 n | s 与 n | a 关系式 1) | | (1 )n n n s = + a i 注C (1 )n + i 为期初到期末的累积因子 2) | | 1 1 n n i a s = + 注C 由 1 可得

(7+以) 1+(1+i)-1 (1+i) B ]: Find the present value of an annuity which pays S500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest is g% convertible semiannually. 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-10

北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 10 | | | | 1 1 (1 ) 1 (1)1 (1 ) 1 n n n n n n n i i s a i i a i a + = + + + + - = + = 例 Find the present value of an annuity which pays $500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest is 9% convertible semiannually