北京大学：《利息理论与应用》课程教学资源（课件讲义）第四章 本金利息分离技术

第四章本金利息分离技术 问题的提出: 在年金的期限内,金融市场会有很多的变化,投资者(融 资者)通常需要随时评估其已经进行的投融资的价值。 如何分析现金流中的内在价值(本金)和时间价值(利 息)? 价值评估中常用的本金利息分离方法有摊还表方法 ( amortization schedules)和偿债基金方法( sinking fund) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-1

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 1 第四章 本金利息分离技术 问题的提出 在年金的期限内 金融市场会有很多的变化 投资者 融 资者 通常需要随时评估其已经进行的投融资的价值 如何分析现金流中的内在价值 本金 和时间价值 利 息 价值评估中常用的本金利息分离方法有摊还表方法 amortization schedules 和 偿债基金方法 sinking fund

摊还表方法—对未清偿债务本金和利息的定期支付 (如贷款的分期尝付) 偿债基金方法借款人为偿还债务成立基金并在指 定期限内分期拨款入基金,累计起一笔足够款项以偿还未 来到期的债款(一般的债券发行多附有要求借款人设立偿 债基金的条款) 本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为“本 金”和“利息”两部分,进而确定投资期间每个时刻的未 结贷款余额。 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-2

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 2 v 摊还表方法 对未清偿债务本金和利息的定期支付 如贷款的分期尝付 v 偿债基金方法 借款人为偿还债务成立基金并在指 定期限内分期拨款入基金 累计起一笔足够款项以偿还未 来到期的债款 一般的债券发行多附有要求借款人设立偿 债基金的条款 本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为 本 金 和 利息 两部分 进而确定投资期间每个时刻的未 结贷款余额

§4.1摊还表 计算未结贷款余额( Outstanding loan balance,) 注∞“未结本金”、“未付余额”、“剩余贷款债务” “账面价值” 实际背景:在贷款业务中,每次分期还款后,借款人 的未偿还的债务在当时的价值。例如:某家庭现有 个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款,在已经付款 12年后,因为意外的一笔收入,希望一次将余款付清, 应付多少? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 3 4.1 摊还表 计算未结贷款余额 (Outstanding loan balance) 注C 未结本金 未付余额 剩余贷款债务 账面价值 实际背景 在贷款业务中 每次分期还款后 借款人 的未偿还的债务在当时的价值 例如 某家庭现有一 个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款 在已经付款 12 年后 因为意外的一笔收入 希望一次将余款付清 应付多少

计算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法 ◇预期法——用剩余的所有分期付款现值的和表 示每个时刻的贷款余额 令追溯法——用原始贷款额的累积值扣除所有已 付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额 注∞这里的利率即为贷款利率 思考:两种方法的计算结果会是一致的吗? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-4

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 4 计算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法 v 预期法 用剩余的所有分期付款现值的和表 示每个时刻的贷款余额 v 追溯法 用原始贷款额的累积值扣除所有已 付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额 注C 这里的利率即为贷款利率 思考 两种方法的计算结果会是一致的吗

分析:在贷款之初有 贷款额=今后所有还款的现值之和 将上式的两边同时累积到还款期间的某个指定时刻则 有 原始贷款额的终值=所有分期还款在这个时刻 的价值之和 上式右边可以分成两部分:过去的还款和未来的还款, 前者的价值计算为现值,后者的价值计算为终值,从 而上式又可以表示为: 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-5

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 5 分析 在贷款之初有 贷款额 = 今后所有还款的现值之和 将上式的两边同时累积到还款期间的某个指定时刻则 有 原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻 的价值之和 上式右边可以分成两部分 过去的还款和未来的还款 前者的价值计算为现值 后者的价值计算为终值 从 而上式又可以表示为

原始贷款额的终值=过去还款的终值 +未来还款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边,则新等式的左边 表示追溯法,而右边表示预期法,两者相等 讨论:两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣 之分,一般情况下,如果所有的还款额和还款时间已 知,则采用预期法;如果还款次数未定或最后一次的 还款金额未定,则采用追溯法 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-6

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 6 原始贷款额的终值 = 过去还款的终值 + 未来还款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边 则新等式的左边 表示追溯法 而右边表示预期法 两者相等 讨论 两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣 之分 一般情况下 如果所有的还款额和还款时间已 知 则采用预期法 如果还款次数未定或最后一次的 还款金额未定 则采用追溯法

记号B—表示时刻的未结贷款余额(第次还款后 的瞬间) 为了区别所采用的计算方法,分别用BP ( prospective)和B( retrospective)表示预期算法和 追溯算法的计算结果 ☆原始贷款金额B。一般用L表示 典型还贷情形下的未结贷款余额的计算: 情形1.还贷金额固定:贷款利率为in次偿还,每 次1元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章—7

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 7 记号 Bt 表示时刻t 的未结贷款余额 第t 次还款后 的瞬间 v 为了区别所采用的计算方法 分别用 p Bt prospective 和 r Bt retrospective 表示预期算法和 追溯算法的计算结果 v 原始贷款金额 B0一般用 L 表示 典型还贷情形下的未结贷款余额的计算 情形 1 还贷金额固定 贷款利率为 i n 次偿还 每 次 1 元

预期法:(付款现金流确定) B 追溯法:因为原始贷款额L=a,从而有 B n|1 预期法和追溯法计算结果相同,即有B=B=B 未结贷款余额满足下递推关系 B=(1+i)B1-1 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-8

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 8 预期法 付款现金流确定 p Bt = n t i | a - 追溯法 因为原始贷款额L = n i | a 从而有 r Bt = | (1 )t n i a i + t i | s = n t i | a - 预期法和追溯法计算结果相同 即有 p Bt = r Bt =Bt 未结贷款余额满足下递推关系 1 (1 ) 1 Bt t = + - i B-

情形2.已知贷款金额:设原始贷款金额为L,贷款 贷利率为i,n次还清 首先计算每次的还款额R: L R L或R nI 预期法:(付款现金流确定) L B=1m11=(—)an,=L=m 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-9

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 9 情形 已知贷款金额 设原始贷款金额为 L 贷款 贷利率为 i n 次还清 首先计算每次的还款额 R R n i | a = L 或 R n i | L a 预期法 付款现金流确定 | | | | | ( ) p n t i t n t i n t i n i n i L a B Ra a L a a - - - = = =

追溯法: L B=L(+0)-2s=L(1+1)-- 例:某贷款的还贷方式为:前五年每半年还2000元; 后五年每半年还1000元。如果半年换算的挂牌利率为 10%。分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷 款余额 解: 1)预期法: 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章-10

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第4章 — 10 追溯法 r Bt = | | (1 )t t i n i L L i s a + - = | | [(1 ) ] t t i n i s L i a + - 例 某贷款的还贷方式为 前五年每半年还 2000 元 后五年每半年还 1000 元 如果半年换算的挂牌利率为 10% 分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷 款余额 解 1) 预期法