北京大学：《利息理论与应用》课程教学资源（课件讲义）第一章 利息基本计算

利息理论及其应用 (2004年2月—6月) 主讲:黄海 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-1

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 1 利息理论及其应用 2004 年 2 月 6 月 主讲 黄 海

第一章利息基本计算 §11利息基本函数 ☆利息是借贷关系中借款人( borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人( lender)的报酬 令从投资的角度看,利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值 例:在银行开立储蓄帐户,把平时积累下来的多余钱 存入银行,可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益利息 例:购买国库券 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-2

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 2 第一章 利息基本计算 1.1 利息基本函数 v 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人(lender)的报酬 v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值 例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益— — 利息 例 购买国库券

累积函数 accumulation function) 本金(p ricina 初始投资的资本金额 累积值( accumulated value)过一定时期后收到 的总金额 利息 interest)累积值与本金之间的金额差值 假设在初始时刻0投资了1个单位的本金,则在时 刻t的累积值记为a(),称为累积函数 注:时间t为从投资之日算起的时间,可以用不同的 单位来度量 1单位的本金 累积值a(t) 0 时间t 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 3 累积函数(accumulation function) 本金(principal) 初始投资的资本金额 累积值(accumulated value) 过一定时期后收到 的总金额 利息(interest) 累积值与本金之间的金额差值 假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 则在时 刻 t 的累积值记为 a(t) 称为累积函数 注 时间 t 为从投资之日算起的时间 可以用不同的 单位来度量 1 单位的本金 累积值 a(t) 0 t 时间 t

累积函数a(t)是关于时间的函数,满足: 1)a(0)=1 2)一般的,a(t)关于时间严格单调递增 即:当t1<t2时,有a(t)<a(2) 如果在t=0、1、2、…等时刻观察累积函数a()得 到一系列累积值a()=1、a(1)、a(2)、…,那么在时刻 0、1、2.之间,累积函数a()的取值是如何变化的? ◇离散型—利息是跳跃产生的 ◇连续型—利息是连续产生的 注∞一般的,利息被认为是连续产生的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章_4

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 4 累积函数 a(t) 是关于时间的函数 满足 1) a(0) = 1 2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2时 有 a(t1 ) < a(t2 ) 如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的 v 离散型 利息是跳跃产生的 v 连续型 利息是连续产生的 注C 一般的 利息被认为是连续产生的

例:考虑以下3类特殊的累积函数a(t) 1)常数(系列1) a(t)=1 2)线性(系列2) a(t)=1+2.5%Xt 3)指数(系列3) a(t)=(1+2.5%) 注检查上面定义的a(t)满足累积函数的要求 注∽学习使用 Excel进行金融计算 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章5

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 5 例 考虑以下 3 类特殊的累积函数 a(t) 1 常数(系列 1) a(t) = 1 2 线性(系列 2) a(t) = 1 + 2.5% t 3 指数(系列 3) a(t) = (1 + 2.5%)t 注C 检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求 注C 学习使用 Excel 进行金融计算

50% 2.50 时刻ta(t)=1 a(t)=l+it a(t)=(1+i)t 1.000 1.000 1.025 1.025 012345678 1.050 1.051 1.075 1.077 100 1.104 1.125 1.131 1.150 1.160 1.175 1.189 111 1.200 1.218 1.225 1.249 10 1.250 1.280 1.275 1.312 12 1.300 1.345 13 1.325 1.379 14 15 16 l1111111 1.350 1.413 1.375 1.448 1.400 1.485 17 1.425 1.522 18 1.450 1.560 19 1.475 1.599 20 1.500 1.639 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章_6

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 6 i= i= 2.50% 2.50% 时刻t a(t)=1 a(t)=1+it a(t)=(1+i)^t 0 1 1.000 1.000 1 1 1.025 1.025 2 1 1.050 1.051 3 1 1.075 1.077 4 1 1.100 1.104 5 1 1.125 1.131 6 1 1.150 1.160 7 1 1.175 1.189 8 1 1.200 1.218 9 1 1.225 1.249 10 1 1.250 1.280 11 1 1.275 1.312 12 1 1.300 1.345 13 1 1.325 1.379 14 1 1.350 1.413 15 1 1.375 1.448 16 1 1.400 1.485 17 1 1.425 1.522 18 1 1.450 1.560 19 1 1.475 1.599 20 1 1.500 1.639

几种累积函数的比较 1.4 「◆系列1 系列 1.2 ▲系列3 1.1 0.9 0.8 时间 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章—7

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 7 几种累积函数的比较 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 5 10 15 20 时间 累积值 系列1 系列2 系列3

总量函数( amount function) 当原始投资不是1个单位的本金,而是P个单位金 额的本金时,则把P个单位金额本金的原始投资在时 刻t的累积值记为A(t),称为总量函数 总量函数A(t)具有如下的性质: 1)A(0)=P 2)A(t)=Pat),P>0,t≥0 注∽总量函数A(t)的计算可以借助于累积函数a(t) 的计算 注从总量函数可得累积函数为 a(1)=A(t)/A(0),t≥0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章_8

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 8 总量函数 amount function 当原始投资不是 1 个单位的本金 而是 P 个单位金 额的本金时 则把 P 个单位金额本金的原始投资在时 刻 t 的累积值记为 A(t) 称为总量函数 总量函数 A(t)具有如下的性质 1) A(0) = P 2) A(t) = P a(t) P > 0 t 0 注C 总量函数 A(t)的计算可以借助于累积函数 a(t) 的计算 注C 从总量函数可得累积函数为 a(t)= A(t) / A(0) t 0

利息( interest) 将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金 额记为Ln,则有 Ln=A(n)-A(n-1),对于整数n≥1 注∞利息金额Ⅰ看作是在整个时期内所产生的,在 最后时刻实现的(支付的、得到的) 注更一般的,记总量函数A()在时间段[1项内所 获得的利息金额为,则有 1n,=A(2)-A(t1)>0 1 其中t2>t1≥0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章9

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 9 利息 interest 将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金 额记为 In 则有 ( ) ( 1) n I = A n - - A n 对于整数 n 1 注C 利息金额 In 看作是在整个时期内所产生的 在 最后时刻实现的 支付的 得到的 注C 更一般的 记总量函数 A(t)在时间段[t 1 ,t 2 ]内所 获得的利息金额为 1 2 t t, I 则有 1 2 , 2 1 It t =-> A(t ) A t( ) 0 其中 t 2 > t1 0

利率( interest rate) 思考:假设两个储户,分别在银行存入了1万元、1 千元的一年期定期储蓄,如果到期后银行都付给他们 同样的利息金额20元,你认为合理吗? 注∞假设所有的在期初投资的1个单位的本金都具有 着同样的产生利息的能力,则上述现象不合理。 为了表示单位货币价值的相对变化幅度,度量利息 的常用方法是计算所谓的“利率”,定义为: 利率等于一定的货币量在一段时间(计息期 measurement period)内的变化量(利息)与期初货 币量的比值。 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-10

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 10 利率 (interest rate) 思考 假设两个储户 分别在银行存入了 1 万元 1 千元的一年期定期储蓄 如果到期后银行都付给他们 同样的利息金额 20 元 你认为合理吗 注C 假设所有的在期初投资的 1个单位的本金都具有 着同样的产生利息的能力 则上述现象不合理 为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息 的常用方法是计算所谓的 利率 定义为 利 率 等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值