《经济数学 Economic Mathematics》课程PPT教学课件：第五章（5.1）不定积分的概念与性质

Chapter 5 第一节不定积分的概念和性质 原函数和不定积分 二、不定积分的性质 不定积分的基本公式 四、直接积分法

第一节 不定积分的概念和性质 Chapter 5 一、原函数和不定积分 三、不定积分的基本公式 二、不定积分的性质 四、直接积分法

、原函数和不定积分 定义1设f(x)是定义在某个区间上的一个函数, 如果存在一个函数F(x),使得对整个区间上都有 F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是函数 ∫(x)在这个区间上的一个原函数 例(inx)=cosx故sinx是cosx的原函数 (nx)=1(x>0) 故Inx是在区间(0,+∞)内的原函数 Economic-mathematics 19-2 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 2 Wednesday, February 24, 2021 例 (sin x) = cos x  故 sin x 是 cos x 的原函数. ( ) ( 0) 1 ln =   x x x 故 ln x 是 x 1 在区间 (0,+) 内的原函数. 定义1 在这个区间上的一个原函数。 或 则 称 是函数 如果存在一个函数 ，使得对整个区间上都有 设 是定义在某个区间上的一个函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , f x F x f x dF x f x d x F x F x f x  = = 一、原函数和不定积分

、原函数和不定积分 定义1设f(x)是定义在某个区间上的一个函数, 如果存在一个函数F(x),使得对整个区间上都有 F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是函数 ∫(x)在这个区间上的一个原函数 例(x3)=3x2,故x3是3x的原函数 x3+C)=3x2,故x3+C也是3x2的原函数 (C为任意常数) Economic-mathematics 19-3 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 3 Wednesday, February 24, 2021 例 定义1 在这个区间上的一个原函数。 或 则 称 是函数 如果存在一个函数 ，使得对整个区间上都有 设 是定义在某个区间上的一个函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , f x F x f x dF x f x d x F x F x f x  = = ( ) 3 , 3 2 x = x  ( ) 3 , 3 2 x C = x  + （ C 为任意常数） 故 3 x 是 2 3x 的原函数. 故 x + C 3 也 是 2 3x 的原函数. 一、原函数和不定积分

、原函数和不定积分 关于原函数的说明: (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是∫(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) HIE. [F(x)-G(x)I=F(x)-G'() f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数) Economic-mathematics Wednesday, February 24, 202

Economic-mathematics 19- 4 Wednesday, February 24, 2021 关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F( x) + C 都是 f ( x) 的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) − G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x)   − = f (x) − f (x) = 0  F(x) − G(x) = C （C为任意常数） 一、原函数和不定积分

、原函数与不定积分 定义2函数∫(x)的原函数的全体,称为f(x)的 不定积分,记为f(x)d 其中“「”为积分号,x称为积分变量,乘积 f(x)d称为被积表达式,f(x)称为被积函数,则有 f(x)dx= F(x)+C 其中F(x)为f(x)一个原函数,C为任意常数, 在此称为积分常数。 Economic-mathematics 19-5 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 5 Wednesday, February 24, 2021 定义2 不定积分，记为 。 函 数 的原函数的全体，称为 的  f x d x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) f x d x F x C f x d x f x x = +   称为被积表达式， 称为被积函数，则有 其中“ ”为积分号， 称为积分变量，乘积 在此称为积分常数。 其 中F(x)为f (x)的一个原函数，C为任意常数， 一、原函数与不定积分

例1求∫x5k 6 解 x,∴x。d 6 6 例2求∫ 1+x 解: (arctan) 1+x I+w2 dx=arctan+C Economic-mathematics 19-6 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 6 Wednesday, February 24, 2021 例1 求 . 5  x dx 解 , 6 5 6 x x =         . 6 6 5 C x  x dx = +  解 例2 求 . 1 1 2  + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =   arctan . 1 1  2 = + +  dx x C x

例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=f(x) 根据题意知 y=2x, 即f(x)是2x的一个原函数 2xxc=x2+C,∴∫(x)=x2+C 由曲线通过点(1,2)→C=1 所求曲线方程为y=x2+1. Economic-mathematics 19-7 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 7 Wednesday, February 24, 2021 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x + C 由曲线通过点（1，2）  C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +

必须指出的是,求一个函数f(x)的原函数,在 几何上就是要求一条曲线,使它在任何一点处 的切线斜率恰好等于f(x),我们将这条曲线称之 为积分曲线。 由于f(x)的不定积分是(x)全部原函数,所 以它在几何上就表示一族积分曲线,这族曲线的 每一条在任何一点处切线的斜率都等于f(x) 而且每两条曲线在横坐标相同的点,其纵坐标只 差一个常数,所以它们都可以由某一条曲线沿y 轴方向上下平行移动而得到,如图所示。 Economic-mathematics 19-8 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 8 Wednesday, February 24, 2021 为积分曲线。 的切线斜率恰好等于 ，我们将这条曲线称之 几何上就是要求一条曲线，使它在任何一点 处 必须指出的是，求一个函 数 的原函数，在 ( ) ( ) f x x f x 轴方向上下平行移动而得到，如图所示。 差一个常数，所以它们都可以由某一条曲线沿 而且每两条曲线在横坐标相同的点，其纵坐标只 每一条在任何一点 处切线的斜率都等于 ， 以它在几何上就表示一族积分曲线，这族曲线的 由 于 的不定积分是 的全部原函数，所 y x f x f x f x ( ) ( ) ( )

f(x)+C X Economic-mathematics 19-9 Wednesday, February 24, 2021

Economic-mathematics 19- 9 Wednesday, February 24, 2021 x y o f (x) ( , ) 0 0 x y f (x) + C

二、不定积分的性质 1、先积分后微分还原 d f(x)dx]=f(x), dul f(x)dx]=f(x)dx, 2、先微分后积分添常数 ∫F(x)x=F(x)+C,∫dF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的 提示:F(x)=f(x)∫f(x)=F(x)+C Economic-mathematics 19-10 Wednesday, February 24. 202

Economic-mathematics 19- 10 Wednesday, February 24, 2021  f (x)dx f (x), dx d =  d [ f (x)dx] = f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx = F x + C ( ) ( ) .  dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 提示： F(x) = f (x)  f (x)dx = F(x) + C 二、不定积分的性质 1、先积分后微分还原 2、先微分后积分添常数